第9題：
已知實係數三次函數\(\displaystyle f(x)=\frac{a}{3}x^3-bx^2+(2-b)x+1\)，\(f(x)\)在\(x=x_1\)處有極大值，在\(x=x_2\)處有極小值，且\(0<x_1<1<x_2<2\)，則\(a+2b\)值的範圍為　　　。
[解答]
依題意，即 \(f'(x)=ax^2-2bx+(2-b)=0\) 之二根 \(x_1\), \(x_2\) 滿足 \(0<x_1<1<x_2<2\)，且 \(a>0\)

故須滿足 \(f'(0)>0\), \(f'(1)<0\), \(f'(2)>0\) 且 \(a>0\)

由以上限制範圍作圖，利用線性規劃概念可得所求範圍！

第11題：
已知\(\Gamma\)為\(y=ax^3+bx(a>0,b>0)\)，原點\(O\)為其反曲點，射線\(\vec{OA}\)在第一象限交\(\Gamma\)於\(A\)點。若\(P\)為曲線段\(OA\)上一點，且以\(P\)為切點的切線與\(\overline{OA}\)平行，則\(\displaystyle \frac{弓形APO的面積}{\Delta APO的面積}=\)　　　。
[解答]
暫時只想到暴力解，考場要這樣解應該會放棄...

設 \(f(x)=ax^3+bx\) \(\Rightarrow f'(x)=3ax^2+b\)

設切點 \(P(t,at^3+bt)\), \(t>0\)，則 \(\overleftrightarrow{OA}:y=f'(t)x\)

求 \(\overleftrightarrow{OA}\) 與 \(\Gamma\) 交點即解方程式 \(f'(t)x-ax^3-bx=0\)    \(\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}t,0\)

可得交點 \(A(\sqrt{3}t,3\sqrt{3}at^3+\sqrt{3}bt)\)

由 \(O,P,A\) 三點坐標及三角形的行列式面積公式可得三角形 \(OAP\) 面積為 \(\sqrt{3}at^4\)  (意外地不難算...)

而弓形面積 \(\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}t}f'(t)x-ax^3-bx\ dx=\int_{0}^{\sqrt{3}t}-ax(x^2-3t^2)dx=\frac{9}{4}at^4\)

故得所求 \(\displaystyle =\frac{\frac{9}{4}at^4}{\sqrt{3}at^4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

第3題：
已知數值資料\(\displaystyle \frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n}\)，其中\(\displaystyle \frac{i}{n}\)有\((2i+1)\)個，\(i=1,2,3,\ldots,n\)，\(n\in N\)。設此資料算術平均數為\(\mu\)，母體標準差為\(\sigma\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\mu^2+\sigma^2)=\)　　　。
[解答]
設隨機變數 \(\displaystyle X=\frac{i}{n}\), \(i=1,2,\cdots, or\ n\)，滿足 \(\displaystyle P\Big(X=\frac{i}{n}\Big)=\frac{2i+1}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}\)

由等式 \(E[X^2]=\sigma^2+\mu^2\)

可得 \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(\sigma^2+\mu^2)=\lim_{n\rightarrow\infty}E[X^2]=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\frac{i}{n}\Big)^2(2i+1)}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\cdot\frac{\sum_{i=1}^{n}(2i^3+i^2)}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}=\cdots=\frac{1}{2}\)

111.2.22補充
將\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)等\(n\)個數的算術平均數記為\(a_n\)，其標準差記為\(b_n\)，則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\)　　　，\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\)　　　。
(81大學聯考試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2441&page=1#pid14824)