填充第 8 題：

\(\displaystyle 1\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1^3}{6^3}+3\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{3^3-2^3}{6^3}++5\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5^3-4^3}{6^3}-x\cdot\frac{3}{6}=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow x=\frac{121}{216}\)

填充第 10 題：

\(\displaystyle 1-\left(\frac{4}{5}\right)^n\geq0.8\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{4}{5}\right)^n\leq\frac{1}{5}\)

\(\displaystyle \Rightarrow n\log\frac{4}{5}\leq\log\frac{1}{5}\)

\(\displaystyle \Rightarrow n\left(\log8-\log10\right)\leq\log2-\log10\)

\(\displaystyle \Rightarrow n\left(3\times0.3010-1\right)\leq0.3010-1\)

\(\displaystyle \Rightarrow n\geq 7.206\cdots\)

\(n\) 至少為 \(8\)

填充第 6 題：

\(\left(x-1\right)\left(x+2\right)>mx+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-mx-3>0\)

同義於 \(\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)>0\)

因此，

\(\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)+mx-3\leq0\)

同義於

\(\left(x^2+x-mx-3\right)+mx-3\leq0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-6\leq0\)

\(\Leftrightarrow \left(x+3\right)\left(x-2\right)\leq0\)

\(\Leftrightarrow -3\leq x\leq2\)

計算第 2 題：

橢圓的長軸長 \(2a=\overline{PA}+\overline{PB}=10\Rightarrow a=5\)

不失一般性，可假設橢圓方程式 \(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 其中 \(b>0\)

設 \(\displaystyle P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2), c=\sqrt{a^2-b^2}\)

由橢圓的對稱性，可假設 \(P,Q\) 都位在第一象限

則 \(y_1:y_2=2:\sqrt{5}\)

且焦半徑 \(\displaystyle a-\frac{c}{a}x_1=3, a-\frac{c}{a}x_2=4\Rightarrow x_1=\frac{10}{c}, x_2=\frac{5}{c}\)

把上兩者 \(x_1, x_2\) 都帶入橢圓方程式，可得 \(\displaystyle y_1^2=b^2\left(1-\frac{4}{c^2}\right), y_2^2=b^2\left(1-\frac{1}{c^2}\right)\)

帶入 \(y_1^2:y_2^2=4:5\) 可解得 \(c^2=16\Rightarrow c=4\)

\(\Rightarrow\) 短軸長 \(\displaystyle 2b=2\sqrt{a^2-c^2}=6\)


註： 不用焦半徑的話，也可以見 thepiano 老師在美夢成真還有一個用海龍公式的解法：

　　http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=9673#p9650

填充第 1 題：

\(\displaystyle \frac{1}{1-x+x^2}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\)

\(1=\left(1-x+x^2\right)\left(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\right)\)

　 \(=a_0+\left(a_1-a_0\right)x+\left(a_2-a_1+a_0\right)x^2+\left(a_3-a_2+a_1\right)x^3+\cdots\)

可知

\(a_0=1, a_1-a_0=0, a_2+a_1-a_0=0, a_3-a_2+a_1=0,\cdots\)

\(\Rightarrow a_0=1\)

\(a_1=a_0=1\)

\(a_2=a_1-a_0=0\)

\(a_3=a_2-a_1=-1\)

\(a_4=a_3-a_2=-1\)

\(a_5=a_4-a_3=0\)

\(a_6=a_5-a_4=1\)

\(a_7=a_6-a_5=1\)

由於自第三項起，每一項都決定於前兩項的值，

因此，可知此數列每六個依循環，且連續六個數字和＝\(1+1+0+(-1)+(-1)+0=0\)

\(\Rightarrow a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{37}=a_0+a_1=1+1=2\)

計算第 5 題，分式型遞迴數列，

請見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

另可參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1668

幫朋友解某些題，解完順便PO上來。

填充題，第2題與第7題

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2013-10-25 11:41

102中二中填充7解法2，可以參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2664

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2013-10-26 08:20

計算題第 1 題、第5題、第4題

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