印象中，一些教師手冊裡會提到，如果轉移矩陣的各元皆正或某次方後皆正，則必收斂至穩態。

不過這個定理，的確很難證，以前讀過隨機過程的時候，是用了另一個更大的定理 Perron–Frobenius theorem。

其內容為：一個 \( n \) 階實方陣 \( A \)，若 \( A \) 的各元非負 (有時記作 \( A \geq 0 \) ) 且 \( A^k >0 \) (各元皆正)

則方陣 \( A \) 有一個特徵值 \( \lambda_{pf} \)，滿足
1. 其它特徵值 \( \lambda \) 皆滿足 \( |\lambda| < \lambda_{pf} \)
2. \( \lambda_{pf} \) 的代數重數為 1
3. \( \lambda_{pf}>0 \) ，且其對應之特徵向量(左、右)之各元皆正

套在轉移矩陣上，就是說 \( \lambda_{pf} =1 \)，且其特徵向量(穩態)各元皆正，其它特徵任之絕對值 \( <1 \)

對角化，計算 \( A^n \)，即得每一行皆收斂至穩態。

這件事讓我想到另一問題，也有同樣的結果

題. 已知 A 袋中有 3 個 10 元硬幣，B 袋中有 2 個 5 元硬幣，今從 A 袋任取一個硬幣放入 B 袋，再由 B 袋任取一個硬幣放入 A 袋。若進行的次數夠多，試問 A 袋中有 2 個 10 元硬幣和 1 個 5 元硬幣的機率會趨近何值？

答. \( \displaystyle \frac{3}{5} = \frac{C^3_2\cdot C^2_1}{C^5_3}\)。

這個答案同樣跟初始狀態無關，因為答案是穩態矩陣其中一元，而穩態只有轉移矩陣決定，與初始狀態無關。

有趣的是，即使我們稍微改一下玩戲規則，比如說，原本是先 A 後 B，我們可以改成先 B 後 A，或者一起拿出一個交換。

這時候，轉移矩陣改變了，但是仔細一做，會發現答案不變，穩態也不變。也就是說，在某類的交換規則下，穩態不只跟初始狀態無關，也跟交換規則無關！

但具體的限制條件是什麼？該怎麼描述，才夠充分？，又如何證明之！



寸絲的確是為了好玩在做數學的，即使是去年前年，在準備教甄的時候，也是這樣的態度。

這個問題也不是現在才思考，定理是讀書的時候學的，但後來也忘得差不多，只是依稀記得有這個定理在

準備考試時間，偶爾當當玩樂趣味，才查起了完整的定理名稱和條件，不過現在大概是證不出佩龍定理了吧

最後一行是錯的，  \( y\geq 2 \)  的翻譯是「 2 是 \( y \) 的一個下界」

所以應該自問一下：下界、最小值有什麼差，為什麼算幾會有計算最小值的功能(或是如何利用算幾不等式)

類似的錯誤，或提問，在這網路上已是不知凡幾了

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-10-17 11:41 PM 編輯 ]

應該是若 \( y=2 \) 則 ... \( \sin 2x = \pm 2 \) (矛盾)

故 \( y \neq 2 \)，因此達不到 2，所以2不是最小值。做到這，其實已經抓到學生錯的點了

2 是一個下界，字多一點的話：值域的下界，譯回符號就是「For all \( x \in \mathbb{R}\) (或 domain), \(2 \leq y\)」