填充第 9 題：

想成丟擲一枚不均勻的硬幣，正面出現機率 \(\displaystyle \frac{1}{5}\)，反面出現機率 \(\displaystyle \frac{4}{5}\)

隨機變數 \(X\) 表示連續丟擲八次所得的正面次數，題目即是要求 \(\displaystyle E\left(X^2\right)\)

\(\displaystyle E(X)=np=8\times\frac{1}{5}\)

\(\displaystyle Var(X)=np\left(1-p\right)=8\times\frac{1}{5}\times\frac{4}{5}\)

因為 \(\displaystyle Var\left(X\right) = E\left(X^2\right) - \left(E\left(X\right)\right)^2\)

所以 \(\displaystyle E\left(X^2\right)=Var\left(X\right)+\left(E\left(X\right)\right)^2=\frac{96}{25}\)

填充第 6 題：

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2013-7-8 09:03

ps. 寫到最後也是 \(x^3-174x+308=0\) ...... 囧rz

填充第 5 題：

若甲乙丙三瓶中分別有 \(a,b,c\) 公升的水，經一輪（甲→乙→丙→甲）操作後，

可知甲乙丙三瓶分別還有 \(\displaystyle\frac{5a}{8}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}, \frac{a}{4}+\frac{b}{2}, \frac{a}{8}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}\) 公升的水，

得轉移矩陣為 \(\displaystyle\left[\begin{array}{ccc}\frac{5}{8}&\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}&\frac{1}{2}&0\\ \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}\end{array}\right]\)

達穩定狀態時，設甲乙丙三瓶的水量分別為 \(x,y,z\)，

解方程式 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\frac{5x}{8}+\frac{y}{4}+\frac{z}{2}=x\\ \frac{x}{4}+\frac{y}{2}=y\\ x+y+z=3\end{array}\right.\)

可得 \(\displaystyle x=\frac{3}{2}, y=z=\frac{3}{4}\)

因此，達穩定狀態時，甲瓶的水量為 \(\displaystyle \frac{3}{2}\) 公升。

填充第 10 題：

將平面分成七個區域，去絕對值，

討論各區域所需滿足的圖形（方程式）為何。

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2013-7-8 09:34

填充第 2 題：

先看 \(y=-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\) 與 \(x\) 軸的交點在哪裡，圖形長怎樣。

因式分解 \(-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\) 得 \(-(x-2)(x-1)(x^2+1)\)

可知 \(y=-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\) 的圖形

1. 當 \(x\) 在 \(1\) 到 \(2\) 之間時，圖形在 \(x\) 軸上方，

2. 當 \(x<1\) 或 \(x>2\) 時，圖形在 \(x\) 軸下方。

因此，取積分區間 \([1,2]\)

可得定積分之最大值為 \(\displaystyle\int_1^2\left(-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\right)dx=\frac{11}{20}\)

填充第 3 題：

\(\displaystyle \frac{1+3+3^2+\cdots+3^n}{5^n}=\frac{\frac{1\cdot\left(3^{n+1}-1\right)}{3-1}}{5^n}=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n\)

因為各別極限（如下）都存在

　　 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n=\frac{\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{5}}{1-\frac{3}{5}}=\frac{9}{4}\)

　且 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{1}{8}\)

所以，

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n\right)=
\sum_{n=1}^\infty\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n=\frac{9}{4}-\frac{1}{8}=\frac{17}{8}\)

亦即，所求 \(\displaystyle =\frac{17}{8}\)

第二部分問答題第 4 題：

因為點 \((-2,2)\) 並不在橢圓 \(x^2+xy+y^2=1\) 的圖形上，

所以丁同學所求出的方程式並不是切線的方程式，

而是兩切點所連接的直線方程式（切點弦方程式，極線）。



丁同學可改用如下方式求切線：

假設過點 \((-2,2)\) 與橢圓 \(x^2+xy+y^2=1\) 相切的切線斜率為 \(m\)，

則切線方程式為 \(y-2=m\left(x+2\right)\Rightarrow y=mx+2\left(m+1\right)\)

將切線方程式帶入橢圓方程式，整理可得

\(\left(m^2+m+1\right)x^2+2\left(2m^2+3m+1\right)x+\left(4m^2+8m+3\right)=0\)

因為相切，所以 \(x\) 有重根，

可得 \(\left(2\left(2m^2+3m+1\right)\right)^2-4\left(m^2+m+1\right)\left(4m^2+8m+3\right)=0\)

\(\Rightarrow 2m^2+5m+2=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow m=-2\) 或 \(m=-\frac{1}{2}\)

亦即，切線方程式為 \(\displaystyle y-2=-2\left(x+2\right)\) 或 \(y-2=-\frac{1}{2}\left(x+2\right)\)

因為點 \((-2,2)\) 並不在橢圓 \(x^2+xy+y^2=1\) 的圖形上，

所以丁同學所求出的方程式並不是切線的方程式，

而是兩切點所連接的直線方程式（切點弦方程式，極線）。


所以也可以把丁同學所算出來的這一條"極線"與圓方程式解聯立，

這樣解出來的點坐標（答案會有兩組）就會是切點的位置，

再求過切點與 \((-2,2)\) 兩點的直線方程式，就會是切線方程式。


ps. 學弟感謝啦～：Ｄ