11.
\( |\; z_1 |\;=|\; z_2 |\;=3 \)，\( |\; z_1-z_2 |\;=3 \sqrt{3} \)，\( log_3 |\; (z_1 \bar{z_2})^{20}-(\bar{z_1} z_2)^{20} |\;= \)？
已知\( Z_1,Z_2 \)均為複數，若\( |\; Z_1 |\;=|\; Z_2 |\;=3 \)，\( |\; Z_1-Z_2 |\;=3 \sqrt{3} \)，則\( log_3 |\; (Z_1 \bar{Z_2})^{20}+(\bar{Z_1}Z_2)^{20} |\; \)之值為多少？
(2008TRML團體賽)
13.
\( x,y,z>0 \)，\( \displaystyle \cases{x^2+xy+\frac{y^2}{3}=17 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=5 \cr z^2+xz+x^2=8} \)，求\( xy+2yz+3xz \)的值。
[提示]
\( \displaystyle x^2+\Bigg(\; \frac{y}{\sqrt{3}} \Bigg)\;^2-2x \Bigg(\; \frac{y}{\sqrt{3}} \Bigg)\; cos150^o=\sqrt{17}^2 \)
\( \displaystyle \Bigg(\; \frac{y}{\sqrt{3}} \Bigg)\;^2+z^2=\sqrt{5}^2 \)
\( \displaystyle z^2+x^2-2xzcos120^o=\sqrt{8}^2 \)
邊長\( \sqrt{17} \)、\( \sqrt{5} \)、\( \sqrt{8} \)的三角形會落在長為4寬為2的長方形中，三角形面積為3
\( \displaystyle \frac{1}{4 \sqrt{3}}\Bigg(\; xy+2yz+3xz \Bigg)\;=\frac{1}{2}x \times \frac{y}{\sqrt{3}}sin150^o+\frac{1}{2}z \times \frac{y}{\sqrt{3}} sin90^o+\frac{1}{2}xzsin120^o \)
正數x,y,z滿足方程組\( \displaystyle \Bigg\{\ \matrix{x^2+xy+\frac{y^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=9 \cr z^2+xz+x^2=16} \)，求\( xy+2yz+3xz \)的值。
(高中數學競賽教程P261)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid7654
112.4.25補充
已知\(x\)、\(y\)、\(z\)為三個實數且滿足\(\cases{x^2+y^2=18 \cr y^2+\sqrt{3}yz+z^2=13\cr x^2+xz+z^2=19}\)，則\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=\)
。
(112師大附中，
https://math.pro/db/thread-3735-1-1.html)
102.5.12補充
4.
三平面兩兩相交一直線，且三直線平行，證明\( \Delta=0 \)，\( \Delta_x,\Delta_y,\Delta_z \)至少有一個不為0
設\( E_1 \)：\( a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \)，\( E_2 \)：\( a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \)，\( E_3 \)：\( a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \)為空間中三平面，令
\( \Delta=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & c_1 \cr a_2 & b_2 & c_2 \cr a_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_x=\Bigg\vert\; \matrix{d_1 & a_1 & c_1 \cr d_2 & b_2 & c_2 \cr d_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_y=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & d_1 & c_1 \cr a_2 & d_2 & c_2 \cr a_3 & d_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_z=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & d_1 \cr a_2 & b_2 & d_2 \cr a_3 & b_3 & d_3} \Bigg\vert\; \)，
試證：若此三平面相異且相交於一直線，則\( \Delta=\Delta_x=\Delta_y=\Delta_z=0 \)
(97松山家商，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554 連結已失效)
在網頁最底下有一篇文章可以看，蘇俊鴻 用向量來看平面族定理
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid4748
