回復 2# 阿光 的帖子
不知如何直接做，所以我用推的
第16題
令 \(a_{n}=\sum^{n}_{k=1}k^3+3\times \sum^{n}_{k=1}k^5\)
則可知遞迴式為 \(a_{n+1}=a_{n}+(n+1)^3+3(n+1)^5\)
先觀察：
\(a_{1}=1+3=4=4\times 1^3\)
\(a_{2}=a_{1}+2^3+3\times 2^5=4\times 3^3\)
\(a_{3}=a_{2}+3^3+3\times 3^5=4\times 6^3\)
猜測 \(a_{n}=4\times (\frac{n(n+1)}{2})^3\)
因為 \(a_{n+1}=a_{n}+(n+1)^3+3(n+1)^5\)
\(=4\times (\frac{n(n+1)}{2})^3+(n+1)^3+3(n+1)^5\)
\(=\frac{n^3(n+1)^3}{2}+(n+1)^3(3n^2+6n+4)\)
\(=(n+1)^3\times (\frac{n^3+6n^2+12n+8}{2})\)
\(=(n+1)^3\times (\frac{(n+2)^3}{2})=4\times \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^3\)
由數學歸納法得知猜測正確！
代入\( n=10\) ，得 \( P=\frac{10\times 11}{2}=55\)
[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-7 09:30 PM 編輯 ]
