\(a,b\in \mathbb{R}\),\(f(x)=x^3-x^2+ax+b\)。若方程式\(f(x)=0\)在閉區間\([-2-1],[-1,1],[1,2]\)的範圍內各有一實根，求\(\displaystyle \int_{0}^{1}f(x) dx\)的最大最小值
這一題有算出答案 但不確定是否誤打誤撞得到正確答案 還請先進們指教
設\(\alpha \in[-2-1] ,\beta \in [-1,1] , \gamma \in [1,2]\)
因為三根和為1，所以\(1 \leq \gamma=1-\alpha - \beta \leq 2 \rightarrow -1\leq \alpha+ \beta \leq 0 \)
配合\(-2 \leq \alpha \leq -1, -1\leq \beta \leq 1\),可以劃出其可行解範圍為一個頂點為\((-1,1),(-2,1),(-1,0)\)的三角形
因為所求並非平方相加,分式這種需要由圖形判斷的東西
可以直接由頂點法得到所求
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-1,1,1)\) , \(a=-1,b=1\)
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-2,1,2)\) , \(a=-4,b=4\)
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-1,0,2)\) , \(a=-2,b=0\)
分別代入所求\(\displaystyle \frac{1}{2}a+b-\frac{1}{12}\)
若\(a=-1,b=1\),所求為\(\displaystyle \frac{5}{12}\)
若\(a=-4,b=4\),所求為\(\displaystyle\frac{23}{12}\)
若\(a=-2,b=0\),所求為\(\displaystyle\frac{-13}{12}\)
可得最大值為\(\displaystyle\frac{23}{12}\) ，最小值為\(\displaystyle\frac{-13}{12}\)
