填充題 5. 平面上由上而下依序劃三條相異的平行線 L₁，L₂，L₃，其中 L₁ 與 L₂，L₂ 與 L₃ 的距離分別為 d₁，d₂。若在三條直線上各取一點，使它們構成一個正三角形，則此正三角形的邊長為何?
想法: 這題的尺規作圖法為: 將 L₁ 繞 L₂ 的某點 A 旋轉 60° 後，與 L₃ 交於 C，則 AC 為該正三角形的一邊。由此可構思出一個求邊長之法。
圖形請參考
h ttp://imgur.com/a/BzSRh
如圖，L₂ 上一點 A 在 L₁，L₃ 的垂足分別為 D, E。將 D 與 L₁ 繞 A 旋轉 60° (則 D → D'，L₁ → L₁')， L₁' 與 L₃ 交於 C。則 AC = x 即為所求。
因 A, D', C, E 共圓，故 x = D'E/sin120° = 2√ [(d₁² + d₂² + d₁d₂)/3] (配合 △AD'E 中的餘弦定理)
本題另一個代數作法: 由聯立方程 x*cosθ = d₁ 與 x*cos(120°- θ) = d₂，解出 x 即可。
