附件是記憶中的題目
有些敘述不太完整，有的數字可能不對，

或是寸絲的中文不好，言不及意

還請各位幫忙指正，謝謝~~

感謝 lianger 幫忙修正題意和題號

請諸位慢慢享用

lianger 是對的，小弟也算出同樣的 \( x \)

幾何解法，
取 \( (x-5)^2 + y^2 = 4^2 \) 的上半圓和 \( (x-34)^2 + (y-3 \sqrt{35})^2 = 30^2 \) 下半圓

兩半圓外切，而兩根號，可視為 半圓上的點至圓心的 \( y \) 分量，如圖 \( \overline{BD} \),  \( \overline{AC} \) 之和

因此兩大值為兩圓心 \( y \) 坐標之差 \( 3 \sqrt{35} \), 其發生位置，其可由分點公式算出 \( x= \frac{143}{17} \)

101panchiao.gif (496.76 KB)

2012-5-20 12:43

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-20 12:45 PM 編輯 ]

感謝 sweeta 和 brace 兩位提供訊息

第 9 題 brace 的數字應該才是對的

而第 8 題，個人的印象是有 6 偶數...但 66 的話不就和最後一題一樣??這樣應該會有印象才是?

印象中第 8 題算出 90xxxx。 不知道，諸位對此數字是否有印象，也可能是小弟算錯

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-21 09:50 PM 編輯 ]

應該是吧...昨天晚上也有人問寸絲

題目好像是 \( 3a_{n+1} = a_n^2 +3a_n \)，問的是 \( \frac{1}{a_n +3} \) 的和之類的

手法一模一樣...昨天問小弟的那位，應該想撞牆了...

是兩人，而非兩票

我的敘述可能不太好，不知道哪位願意幫忙修一下

6 (2) 這樣寫會有重覆
OOX 13*OXX 13*XOX 13*XXO 這組和 XOO 14*OXX 13XOX 12*XXO 總得票數都是 14,14,13

6 (3) 想法相同

等等再來想 6 (2)

前面的作法相同..

但後面的討論似乎有點問題： \( n \) 奇數是，實際上 \( x=-1 \) 有可能是單根

如 \( n=3 \) 方程式為 \( 3x+3 = 0\) 顯然是單根

應令 \( g(x) = xf(x) = (x+1)^n - x^n -1 \), 則有 \( g'(x) = n(x+1)^{n-1} + nx^{n-1} \)

0 不為 \( f(x) =0 \) 之根，因此 \( x=a \) 為 \( f(x) = 0 \) 之重根若且唯若 \( x=a \) 為 \( g(x) =0 \) 之重根

若且唯若 \( g(a)=g'(a) = 0 \)，若且唯若 \( 0 = g(a) - \frac an g'(a) = (a+1)^{n-1}-1 \) 且 \( 0 = g'(a) =n(a+1)^{n-1} - na^{n-1} \)

若且唯若 \( x=a \) 為 \( (x+1)^{n-1} =x^{n-1} =1 \) 的解。

在複數平面上畫兩圓 \( |x+1|=|x| =1 \) ，其交點為 \( x= -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt 3}{2} \)

因此，有重根若且為若 \( (\pm \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} = 1\) 或 \(  ( \pm \frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} =1  \)

即 \( 6 \mid n-1 \)

\(n = 1 \) 時，原方程式是  \( 0 = 0 \) 算不算重根丫？？？但不影響此題作答

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-23 01:30 PM 編輯 ]

因為過程被小弟抹掉了，不過這個構造有點不直覺，所以可不用太在意

比較好的方法，可以參考 #3 lianger 的做法

回到被抹掉的東西，一開始其實是畫兩個上半圓，圓心都在 \( x \) 軸

但是這樣 \( y \) 方向的兩線段會有疊在一起的部分，不利於幾何上解釋加法，於是把一個圓改成下半圓

這樣兩個線段就連起來變成一個線段了，在考場裡，寸絲也沒有想那個第二個下半圓的平移

而是採用微分的觀點發現，相求函數之微分，即兩半圓切線斜率相減，所以當切線斜相等時，即極點位置

小弟因此先做出 (2) ，後來再思考，才從切線斜率相同，想到相切，而且半圓可平移，線段不變

所以就它右邊的大半圓往上移動，直至與左邊小圓相切，那從畢氏定理算一算得圓心 \( y \) 坐標為 \( \sqrt{(4+30)^2-(34-5)^2} \)

以上，囉嗦了半天，沒什麼重點，勿怪

先對 weiye 老師致上敬意

在下算得有一點小差異，一者是行列式展開

另一個是 weiye 老師的 \( x \) 極式不小心寫錯了

令 \( A=\left[\begin{array}{ccccccc}
x^{9} & x^{8} & x^{7} & \ldots & \ldots & \ldots & 1\\
1 & x^{9} & x^{8} & \ldots & \ldots & \ldots & x\\
x & 1 & \ddots & \ddots & \ldots & \ldots & \vdots\\
\vdots & \ldots & \ddots & \ddots & \ddots & \ldots & \vdots\\
\vdots & \ldots & \ldots & \ddots & \ddots & x^{8} & \vdots\\
x^{7} & \ldots & \ldots & \ldots & 1 & x^{9} & x^{8}\\
x^{8} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 1 & x^{9}
\end{array}\right] \) ,\(  E_{1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & \ldots & \ldots & 0\\
-x & 1 & \ddots & \ldots & \vdots\\
0 & -x & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0\\
0 & \ldots & 0 & -x & 1
\end{bmatrix} \), \( E_{1}A=\begin{bmatrix}x^{9} & x^{8} & \ldots & \ldots & 1\\
1-x^{10} & 0 & \ldots & \ldots & 0\\
0 & 1-x^{10} & \ddots & \ldots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0\\
0 & \ldots & 0 & 1-x^{10} & 0
\end{bmatrix} \)

又 \( \det E_{1}=1\) ，因此 \( \det A=\det(E_{1}A)=-(1-x^{10})^{9} \) 。

\( x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\Rightarrow x^{10}=-\frac{1+\sqrt{3}i}{2} \), \( 1-x=\frac{3+\sqrt{3}i}{2}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}+i}{2}=\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}) \)

因此 \( \det A=-(1-x^{10})^{9}=81\sqrt{3}i \)

算到這樣的感覺，要嘛是算錯了，要嘛是寸ㄟ題目記錯了