101新竹女中

8.
\(x\)為非零實數，\(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x}\)，若\(x=x_0\)時，\(f(x)\)有最大值\(M\)，則數對\((x_0,M)=\)　　　。
[解答]
第8題想到一個另解︰
考慮\(  x>0  \)，
\( f(x)=\sqrt{x^2+32+\frac{4}{x^2}}-\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}} \)
       \(=\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-6)^2}-\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-2)^2} \)
令\( t=x-\frac{2}{x} \)，則所求即為點\( (t,0) \)至點\( (0,6) \) 與點 \( (0,2) \)的距離差的最大值。
畫圖可得此時 \(( t,0)=(0,0) \)，\(  t=0 \)，\( x-\frac{2}{x}=0 \)，\( x=\sqrt{2} \)，
最大值即為點\( (0,6) \) 與點 \( (0,2) \)的距離4。