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第 4 題：

題目可以看成是點 \(P(3\cos\alpha-3,-2\sin\beta-2)\) 與點 \(Q(2\sin\alpha+2, -3\cos\beta+3)\) 距離的平方，

qq.png (33.23 KB)

2012-5-10 10:31

如圖，可得兩橢圓間的最短距離為 \(\displaystyle\frac{10-2\sqrt{13}}{\sqrt{2}}\)

因此，所求＝\(\displaystyle\left(\frac{10-2\sqrt{13}}{\sqrt{2}}\right)^2=76-20\sqrt{13}.\)

扇形面積扣三角形面積，可得弓形面積。

或是真得很想用積分的話，如下～

令 \(x+1=2\cos\theta\)，其中 \(\displaystyle0\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}\)

則 \(dx=-2\sin\theta d\theta\)，且

\(\displaystyle 6\int_0^1\sqrt{4-(x+1)^2}dx = 6\int_{\pi/3}^0 2\sin\theta\cdot(-2\sin\theta)d\theta\)

　　\(\displaystyle =-24\int_{\pi/3}^0 \sin^2\theta d\theta\)

　　\(\displaystyle =-24\int_{\pi/3}^0 \frac{1-\cos2\theta}{2} d\theta\)

　　\(\displaystyle =-12\int_{\pi/3}^0 (1-\cos2\theta) d\theta\)

　　\(\displaystyle =-12\left[\theta-\frac{\sin 2\theta}{2}\right]\Bigg|_{\pi/3}^0\)

　　\(\displaystyle =4\pi-3\sqrt{3}\)

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你開附件中的 pdf 就可以啦。