剛剛暴力硬算，其實沒有很醜，只是之前一直不敢算

計算 3

令三個對應邊為 \( a,\, b,\, c\)，則 \(\overline{G_{3}C}=\frac{a}{\sqrt{3}}\), \( \overline{G_{2}C}=\frac{b}{\sqrt{3}} \), \( \angle G_{3}CG_{2}=\frac{\pi}{3}+C \)，

\( \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \), \( \sin C=\frac{2\triangle}{ab} \)，\( \cos(\frac{\pi}{3}+C)=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4ab}-\frac{\sqrt{3}\triangle}{ab}\)

餘弦定理硬算 \( \overline{G_{2}G_{3}}^{2}=\frac{a^{2}}{3}+\frac{b^{2}}{3}-\frac{2ab}{3}\cos(\frac{\pi}{3}+C)=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{6}+\frac{2\sqrt{3}\triangle}{3} \)

對稱的，另兩邊也一樣，三邊相等，得證。

引用:

原帖由 arend 於 2012-5-4 03:38 PM 發表

P(n)=(1/6)*(-1/3)^n+(1/2)

若乙第1局先擲,情況又會如何?
大家討論一下

\( n=1 \) 代入檢驗，就知道是否有錯

而乙先擲的情況，方法完全相同，甚至式子也幾乎沒有差別

何不自己試一下，順帶驗證，是否真的懂了，學會這個方法了

再由大家幫忙看看是否有錯誤，就行了

如果更懶一點，其實也有不重新計算的方法(甲、乙 對稱)

看到第三題矩陣，完全沒有想過要像這樣硬解 \( X, Y \)

還好題目是問 \( X^n \)，才想到應該從特徵值下手

找 \( P \) 把 A 對角化，\( X,\, Y \) 做 Similar transfrom 的 \( X',\, Y' \)

這時候 \( X',\, Y' \) 滿足一樣式子，但是 \( A \) 被對角化，

所以用眼睛一看，就知道 \( X', \, Y' \) 是 \(\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\
0 & 0\end{array}\right) \) 和 \( \left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1\end{array} \right) \)

接下計算 \( X^n \) 也因為那個 1 0; 0 0 怎麼乘不變，所以 \( X^n = X \)

中間的計算，就不做了，有興趣的自行完成

看起來沒什麼錯誤

如果把算過的式子，仔細一看，就會發現列的遞迴式根本是一模一樣

只有 \( P_1 \) 代的數字不同而已

另外，您也注意到了，這個機率其實和原本的相加等於 \( 1 \)

運用先前所說的對稱，乙先擲，乙贏第六局的機率

必然與甲先擲甲贏第六局的機率相同，也就是 \(  \frac{364}{729} \)

而沒人得勝，也是一直丟反面機率是 0，所以不是乙勝就是甲勝，

因此甲勝的機率 = 1 - 乙勝的機率

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-5 04:58 PM 編輯 ]

我想，只要問一個問題就好了

第一局甲贏的機率是多少？
是 \( \frac{1}{2} \) 嗎？
如果覺得是的話，再仔細看看題意，也許有所誤會題意了哦

今天恰好和人討論了這份題目...重新又仔細思考之一下：關於填充 5

發現， \( P_2 \) 的軌跡是圓，而 \( P_3 \) 的軌跡是心臟線

瑋岳老師的圖中，將 \( P_3 \) 沿著 \( \overline{OP_2} \) 折過去得 \( P_4 \)

則 \( P_4 \) 在 x 軸上，且 \( \overline{P_2P_4} \) 垂直 x 軸

101tainan.gif (948.92 KB)

2012-5-16 22:24

\( \triangle P_1P_2P_3 \) 和 \( \triangle P_1P_2P_4\) 同底等高，面積相同

列下來，當然是和瑋岳老師一樣的式子，但圖形上就很清楚了，就只是 \( P_2 \) 和半圓上移動

其對 \( x \) 軸投影 \( P_4 \) 和 \( P_1 \) 所圍出的直角三角形面積

如果把 \( \overline{P_2P_4} \) 延長成 \( \overline{P_2P_5} \) 讓 \( P_5 \) 在圓上

這時 \( P_1P_2P_5 \) 面積是所求的兩倍，但其為圓內接三角形，閉著眼睛也能猜出正三角時最大了！

(其實畫了會動的 ggb 但是要怎麼放上來？要轉 html嗎？還是...)
(感謝橢圓兄，可以放圖了)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-17 08:38 AM 編輯 ]

很妙的替換方式，即使看過之後

再來做，一樣學不起來

來個很暴力的方法：分子分母先同乘 \( \cos 20^\circ \)，

令 \( x = \sin 20^\circ \), \( y =\cos 20^\circ \) 則 \(\displaystyle \frac{3-4x^2}{4y^2 - 1} =1 \)

所以原式 \(\displaystyle  = \frac{x}{2+y-4y^{2}}\cdot\frac{3-4x^{2}}{4y^{2}-1} \)

以三倍角公式 \(\displaystyle  3x-4x^3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( 4y^3 -3y = \frac12 \)

化簡得 \(\displaystyle  - \frac{1}{\sqrt{3}} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-31 08:03 PM 編輯 ]