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將一列\(n\)(\(n\ge 2\))的小方格中最左邊的黑棋向右移動,每次移動1或2格,直至最右邊的小方格為止。假設由最左移至最右有\(a_n\)種移動方法,每種移動方法的機會均等,「移動次數」的期望值為\(E_n\),求數對\((a_7,E_7)\)為 。
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[解答]
\( a_n \) 滿足遞迴式 \( a_n+2 =a_{n+1} + a_n \)
而 \( E_n \) 也可以遞迴 \( E_{n+2} = \left( a_{n+1}E_{n+1} + a_n E_n \right) / a_{n+2} +1 \)
可改寫為 \( a_{n+2} E_{n+2} = a_{n+1}E_{n+1} + a_n E_n + a_{n+2} \)
\( \{a_n\} = \{1,1,2,3,5,8,13 \} \), \( a_n E_n = \{ 0,1,3,7,15,30,58 \} \)
而 \(\displaystyle \{E_n\} = \{ 0,1,\frac32, \frac73, \frac{15}5, \frac{30}{8}, \frac{58}{13} \} \)