填充第18題
\[
S = \{ \cos \frac{{2k\pi }}{n} + i\sin \frac{{2k\pi }}{n},for:k = 0,1,2,3,......,n - 1\}
\]

計算題
\[
3^{33}  + 1 = (3^{11} )^3  + 1^3  = (3^{11}  + 1)(3^{22}  - 3^{11}  + 1)
\]
\[
= (3^{11}  + 1)[(3^{11}  + 1)^2  - 2 \cdot 3^{11}  - 3^{11} ] = (3^{11}  + 1)[(3^{11}  + 1)^2  - 3^{12} ]
\]
\[
= (3^{11}  + 1)(3^{11}  + 1 - 3^6 )(3^{11}  + 1 + 3^6 )
\]
其中\[
(3^{11}  + 1 - 3^6 ) - 3^{10}  = (3^{11}  - 3^{10} ) + 1 - 3^6  = 2 \cdot 3^{10}  + 1 - 3^6  > 0
\]
所以\[
(3^{11}  + 1 - 3^6 ) > 3^{10}
\]
如有錯誤請予指正  感謝

101.4.8版主補充類似題目
證明：\( 2^{1992}-1 \)能夠表示成比\( 2^{248} \)大的六個整數的積

102.3.24版主補充
將\( 5^{1985}-1 \)分解為三個整數的乘積，使每一個都大於\( 5^{100} \)。
(初中數學競賽教程P7)
[解答]
由\( x^5-1=(x-1)[(x^2+3x+1)^2-5x(x+1)^2] \)，令\( x=5^{397} \)，則中括號內兩數為平方差，可分為兩個因數的乘積，易知道這三個因數都大於\( 5^{100} \)。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-3-24 08:26 AM 編輯 ]

題目一開始說集合S是由一些複數所形成的集合
所以看到這一句話時   聯想到集合裡面的元素必定型如\[
x + yi
\]其中\[
x,y \in R
\]
再來由後面這一句話\[
\forall      i \ne j,         a_i  \ne a_j ,      a_i  \cdot a_j  \in S
\]
可以知道S裡面的元素會形成一個週期性的循環
所以聯想到有可能是\[
S = \{ 1,i, - 1, - i\}
\]
或者是\[
S = \{ 1,\omega ,\omega ^2 \}
\]
但是題目說\[
n \in N
\]
所以只要是1的正n次方根都有可能#

[ 本帖最後由 tsungshin 於 2012-4-2 02:53 PM 編輯 ]