第 3 題：

設 \(f(x)=0\) 的三根為 \(a-d,a,a+d\)

則 \((a-d)+a+(a+d)=-3\Rightarrow a=-1\)

　 \(\Rightarrow f(-1)=0\)

設 \(g(x)=0\) 的三根為 \(\displaystyle\frac{b}{r},b,br\)

則 \(\displaystyle\frac{b}{r}\cdot b\cdot br=8\Rightarrow b=2\)

　 \(\Rightarrow g(2)=0\)

由 \(f(-1)=0\) 與 \(g(2)=0\)，

解聯立可得 \(m,n\) 之值。

第 10 題：

\(f(x)=x^3-3x^2-9x+k\)

\(\Rightarrow f'(x)=3x^2-6x-9\)

解 \(f'(x)=0, \) 可得 \(x=-1\) 或 \(3\)



因為 \(f(x)=0\) 有三相異實根，所以 \(f(-1)>0\) 且 \(f(3)<0\)



且因為題目說 \(f(x)=0\) 有兩負根一正根，

所以 \(f(0)<0\)



故，由 \(f(-1)>0,f(3)<0, f(0)<0\)

可解得 \(-5<k<0\)

填充第 1 題

令 \(f(x)=x^4-3x^3+x^2-x+7\)

先找出「讓 \(\displaystyle \frac{1+\sqrt{13}}{2}\) 帶入之後會變成零」的最低次數有理係數多項式

　　\(\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\Rightarrow 2x-1=\sqrt{13}\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow (2x-1)^2=13\Rightarrow x^2-x-3=0\)

再來利用綜合除法，

　　把 \(f(x)\) 寫成 「\(\displaystyle (x^2-x-3)\cdot \mbox{商式}+\mbox{餘式}\)」

這樣要算 \(\displaystyle f(\frac{1+\sqrt{13}}{2})\) 就會比較好算了。

填充第 2 題

\(\displaystyle\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}=\tan\frac{\alpha-\beta}{2}\)



再利用 \(\displaystyle\sin(\alpha+\beta)=\frac{2\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha+\beta}{2}}\)

填充第 6 題

設 \(x^4-6x^3+14x^2-3ax+a=(x^2-3x+p)(x^2-3x+q)\)

將左式展開之後，比較 \(x\) 的各次方項係數，可得

\(p+q+9=14, -3p-3q=-3a, pq=a\)

故，\(a+9=14\Rightarrow a=5\)

填充第 7 題

先將 \(5x^2-6xy+5y^2=32\) 利用旋轉消去 \(xy\) 項，


（　中間步驟～～ \(a+c=10,a-c=-6\Rightarrow a=2,c=8\)

　　轉軸不影響常數項，所以旋轉後方程式為 \(2x^2+8y^2=32\)　）


可得橢圓方程式 \(x'^2+4y'^2=16\)

而所求 \(x^2+y^2=k\) 經旋轉仍然為圓，

所以，\(k\) 的最大值 \(M=16\), 最小值 \(m=4\)

第 13 題：將「南港愛我，我愛南港」8 個字全取排成一列，其中「南」與「港」兩字不相鄰之排法有＿＿＿種。

解答：

先排「我我愛愛」有 \(\displaystyle\frac{4!}{2!2!}=6\) 種

然後再讓「南南港港」插空隙

可能的情況有四種「南南相鄰、港港相鄰」「南南相鄰、港港分開」「南南分開、港港相鄰」「南南分開、港港分開」

所以插空隙的方法有 \(C^5_1C^4_1+C^5_1C^4_2+C^5_2C^3_1+C^5_2C^3_2=110\) 種

所以，所求方法數為 \(6\times 110=660\) 種。

第 16 題：（速解）

經長期互換多次後呈現穩定狀態後，

錢幣總額 \(10+10+5+5+5=35\) 元，均分給五個硬幣，

每個硬幣價值的期望值為 \(35\div 5= 7\) 元

乙袋有 \(3\) 個硬幣，所以期望值為 \(3\times 7=21\) 元。




另解：（比較慢一點，但是是標準作法）

轉移矩陣 \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{2}&1\\ 0&\frac{1}{6}&0\end{array}\right]\)

其中上方的三的狀態分別是甲有 5+5元、10+5元、10+10元，

轉移後的左方三的狀態分別是甲有 5+5元、10+5元、10+10元。

長期而言，設達穩定狀態的矩陣為 \(\displaystyle P=\left[\begin{array}{c}x\\y\\1-x-y\end{array}\right]\)，

由 \(AP=P\)，可解得 \(\displaystyle x=\frac{3}{10}, y=\frac{3}{5}\)，

所以，長期而言，甲袋中金額的期望值為 \(\displaystyle 10\times \frac{3}{10}+15\times\frac{3}{5}+20\times\left(1-\frac{3}{10}-\frac{3}{5}\right)=14.\)

乙袋金額的期望值為 \(35-14=21\) 元。



相同題目：99台中二中，https://math.pro/db/thread-934-1-1.html 計算第 5 題



103.03.22 補充 -----------------------------------------------------------------------------------------

有朋友跟我說他對轉移矩陣內的數字怎麼來的不太懂，補充說明如下：

甲有 5+5 （乙就有 10+10+5 元）

甲袋不管怎麼拿都會拿出 5 元

乙袋有 2/3 的機率拿到 10 元，有 1/3 的機率拿到 5 元，

因此，兩袋各取一枚硬幣交換的話，

有 1/3 的機率交換後，甲袋還是有 5+5 元。

有 2/3 的機率交換後，甲袋變成 10+5 元。

有 0 的機率（也就是不可能），甲袋會變成 10+10 元。

所以第一行的機率是 1/3, 2/3, 0


----------------------------------------

甲有 10+5 （乙就有 10+5+5 元）

甲袋有 1/2 的機率拿到 10 元，有 1/2 的機率拿到 5 元，

乙袋有 1/3 的機率拿到 10 元，有 2/3 的機率拿到 5 元，

因此，兩袋各取一枚硬幣交換的話，

有 (1/2)*(2/3)=1/3 的機率交換後（甲袋拿出10元，乙袋拿出5元來交換），甲袋會變成有 5+5 元。

有 (1/2)*(1/3)+(1/2)*(2/3)=1/2 的機率交換後（甲乙袋都拿出10元交換，或是甲乙袋都拿出5元來交換），甲袋還是有 10+5 元。

有 (1/2)*(1/3)=1/6 的機率（甲袋拿出5元，乙袋拿出10元來交換），甲袋會變成 10+10 元。

所以第一行的機率是 1/3, 1/2, 1/6

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同理，第三行留給你寫。

您將 \(\sqrt{10-x^2}>x+2\) 兩邊同時平方的動作，做得太快了一點～

它與 \(10-x^2>(x+2)^2\) 並不全然可以等價～

要是右邊負很多～左邊正很小～

像是當 \(-\sqrt{10}<x\leq -3\) 時，這兩個不等式就沒有等價。




解答：

因為 \(\sqrt{10-x^2}\) 有意義，

所以 \(10-x^2\geq0\Rightarrow -\sqrt{10}\leq x\leq \sqrt{10}\)

case i: 若 \(x+2<0\) 時，即 \(-\sqrt{10}\leq x<-2\) 時，

　　　　因為 \(\sqrt{10-x^2}\geq0>x+2\) 必成立，

　　　　得 \(-\sqrt{10}\leq x<-2\)。

case ii: 若 \(x+2\geq0\)，即 \(-2\leq x\leq \sqrt{10}\) 時，

　　　　\(\sqrt{10-x^2}>x+2\geq 0\Rightarrow 10-x^2>(x+2)^2\)

　　　　\(\Rightarrow -3<x<1\)，且因為 \(-2\leq x\leq\sqrt{10}\)

　　　　得 \(-2\leq x<1\)

由 case i&ii，可得 \(-\sqrt{10}\leq x<1.\)

第 12 題：

已知 \(|x|\neq 1\)，若 \(\displaystyle f(\frac{x-3}{x+1})+f(\frac{3+x}{1-x})=x\)，求 \(f(x)\)

解：

\(\displaystyle f(\frac{x-3}{x+1})+f(\frac{3+x}{1-x})=x\) ‧‧‧(i)

令 \(\displaystyle a=\frac{x-3}{x+1}\)，則 \(\displaystyle x=\frac{3+a}{1-a}\)

帶入（ｉ），可得 \(\displaystyle f(a)+f(\frac{a-3}{a+1})=\frac{3+a}{1-a}\)

　　　　　　　即 \(\displaystyle f(x)+f(\frac{x-3}{x+1})=\frac{3+x}{1-x}\) ‧‧‧(ii)

令 \(\displaystyle b=\frac{3+x}{1-x}\)，則 \(\displaystyle x=\frac{b-3}{b+1}\)

帶入（ｉ），可得 \(\displaystyle f(\frac{3+b}{1-b})+f(b)=\frac{b-3}{b+1}\)

　　　　　　　即 \(\displaystyle f(\frac{3+x}{1-x})+f(x)=\frac{x-3}{x+1}\)  ‧‧‧(iii)

由　［(iii)＋(ii)－(i)］／2，可得 \(\displaystyle f(x)=\frac{x^3+7x}{2-2x^2}\)


ps. 1. 這是哪一間學校的題目呀？好像有看過這題！

　　2. 感謝 俞克斌 老師提醒我最後答案的計算錯誤。現已修正。：Ｄ