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100嘉義高中代理
weiye
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發表於 2011-6-16 10:47
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填充第 8 題:
\(5^a>5^0=1\Rightarrow 5^a-1>0\)
\(5^b>5^0=1\Rightarrow 5^b-1>0\)
\(\Rightarrow (5^a-1)(5^b-1)>0\)
\(\Rightarrow 5^{a+b}-(5^a+5^b)+1>0\)
\(\Rightarrow 5^a+5^b<5^2+1=26\)
且由算幾不等式,可得
\(\displaystyle \frac{5^a+5^b}{2}\geq\sqrt{5^a\cdot 5^b}\)
\(\Rightarrow 5^a+5^b\geq10\)
故,\(10\leq 5^a+5^b<26.\)
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發表於 2011-6-16 10:56
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填充第 11 題:
因為 \(y=3^x+3^{-x}\) 的圖形對稱於 \(y\) 軸
且 \(y=ax^2\) 的圖形也對稱於 \(y\) 軸,
所以,\(A,B\) 兩點對稱於 \(y\) 軸,
\(\Rightarrow A,B\) 兩點的 \(x\) 坐標為 \(3,-3\)
\(y\) 坐標都為 \(\displaystyle y=3^3+3^{-3}=\frac{730}{27}.\)
將點坐標 \(\displaystyle (3, \frac{730}{27})\) 帶入 \(y=ax^2\)
可得 \(\displaystyle a=\frac{730}{243}.\)
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發表於 2011-6-16 11:09
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填充第 15 題:
顯然 \(E_1, E_2, E_3\) 都通過原點 \((0,0,0),\)
所以,\(L\) 亦通過 \((0,0,0)\)
且依題述, \(L\) 有通過 \(P(1,2,3),\)
故, \(L\) 的方程式為 \(\displaystyle\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{2}=\frac{z-0}{3}.\)
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發表於 2011-6-22 09:47
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在算機率時,
不管六個球的顏色外貌、新舊是否相同,
它們也是〝不同〞的實體,
「我拿到 6 個實體」與「我拿到 5 個實體,你拿到 1 個實體」的機率必然不同。
可以參考:
https://math.pro/db/thread-1109-1-1.html
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發表於 2012-5-16 19:20
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回復 11# mcgrady0628 的帖子
計算證明題第 2 題:
令 \(f(x)=2x^3-3(k+1)x^2+6kx-2k\),則
\(f\,'(x)=6x^2-6(k+1)+6k=6(x-k)(x-1)\)
\(f\,'(x)=0\) 之兩根為 \(x=k\) 或 \(x=1\)
因為 \(f(x)=0\) 有三相異實根,所以 \(f(k)f(1)<0\)
\(\Leftrightarrow -(k-2)(k-1)^2k<0\)
\(\Leftrightarrow k>2\) 或 \(k<0\)
計算證明題第 3 題:
因為 \(\overline{X}=\overline{Y}=0\),所以 \(\displaystyle \sum_{k=1}^nx_i=\sum_{k=1}^ny_i=0\)
且因為 \(\sigma_x=\sigma_y=1\),所以 \(\displaystyle \sum_{k=1}^nx_i^2=\sum_{k=1}^ny_i^2=n\)
令 \(f(x)=a+bx\)
則
殘差平方和=\(\displaystyle \sum_{k=1}^n\left(y_i-f(x_i)\right)^2\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^n\left(y_i-a-bx_i\right)^2\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^n\left(y_i^2+a^2+b^2x_i^2-2ay_i+2abx_i-2bx_iy_i\right)\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^n y_i^2+na^2+b^2\sum_{k=1}^n x_i^2-2a \sum_{k=1}^n y_i+2ab \sum_{k=1}^n x_i-2b\sum_{k=1}^n x_iy_i\)
\(\displaystyle =n+na^2+nb^2-2b\sum_{k=1}^n x_iy_i\)
\(\displaystyle =n+na^2+n\left(b-\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_iy_i}{n}\right)^2-\frac{\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n x_i y_i\right)^2}{n}\)
\(\displaystyle \geq n-\frac{\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n x_i y_i\right)^2}{n}\)
當殘差平方和有最小值時,\(a=0\) 且 \(\displaystyle b=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_iy_i}{n}\)
因為 \((x_i,y_i),i=1,2,\cdots n\) 為已標準化數據,因此 \(\displaystyle b=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_iy_i}{n}=r\)
亦即當 \(f(x)=rx\) 時,殘差平方和為最小,
可得 \(Y\) 對 \(X\) 的迴歸直線為 \(y=rx.\)
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發表於 2012-8-24 19:28
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回復 13# afu0406 的帖子
填充第 2 題:
令 \(\displaystyle k=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\),
則 \((k-1)x^2+(k+1)x+(k-1)=0\)
若 \(k=1\),則 \(x=0\Rightarrow t=0\)
若 \(k\neq1\),則
因為 \(x\in\mathbb{R}\),所以 \((k+1)^2-4(k-1)(k-1)\geq0\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{3}\leq k\leq 3\)
\(\displaystyle \Rightarrow \log_{\frac{1}{9}} 3\leq\log_{\frac{1}{9}} k\leq \log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{3}\)
\(\displaystyle \Rightarrow-\frac{1}{2}\leq \log_{\frac{1}{9}} t\leq\frac{1}{2}\)
當 \(\displaystyle \log_{\frac{1}{9}} t=\frac{1}{2}\) 時,\(\displaystyle k=\frac{1}{3}\Rightarrow x=1\)
當 \(\displaystyle \log_{\frac{1}{9}} t=\frac{1}{2}\) 時,\(k=3\Rightarrow x=-1\)
所以,\(\displaystyle M=\frac{1}{2}, m=-\frac{1}{2}\)
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發表於 2012-8-24 19:39
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回復 13# afu0406 的帖子
填充第 4 題:
設 \(E_1\) 與 \(E_2\) 的銳夾角為 \(\theta\),
則 \(\displaystyle \cos\theta=\left|\frac{\left(1,3,-5\right)\cdot\left(2,-1,4\right)}{\sqrt{1^2+3^2+\left(-5\right)^2}\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+4^2}}\right|=\frac{\sqrt{15}}{5}\)
所求=\(\displaystyle \cos\theta\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot2^2\right)=\frac{3\sqrt{5}}{5}\)
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