計算 4 ，沒有算錯，只是後面要用特徵值分解，繼續做完而已
轉移矩陣為 \( P=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{1}{3} & \frac{1}{9} & 0\\
\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{4}{9}\\
0 & \frac{2}{9} & \frac{5}{9}\end{array}\right] \)

解其特徵值和特徵向量分別為 \(1,\frac{4}{9},\frac{1}{9} \) 和 \( \left[\begin{array}{c}
\frac{1}{3}\\
2\\
1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2}\\
1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}
1\\
-2\\
1\end{array}\right] \)。

將初始狀態表示特徵向量之線性組合

\( \left[\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right]=\frac{3}{10}\left[\begin{array}{c}
\frac{1}{3}\\
2\\
1\end{array}\right]-\frac{2}{15}\left[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2}\\
1\end{array}\right]-\frac{1}{6}\left[\begin{array}{c}
1\\
-2\\
1\end{array}\right] \)。

\( P^{i}\left[\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right]=\frac{3}{10}\left[\begin{array}{c}
\frac{1}{3}\\
2\\
1\end{array}\right]-\frac{2}{15}\cdot(\frac{4}{9})^{i}\left[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2}\\
1\end{array}\right]-\frac{1}{6}\cdot(\frac{1}{9})^{i}\left[\begin{array}{c}
1\\
-2\\
1\end{array}\right] \)

所以機率為 \( \frac{3}{5}+\frac{1}{15}\cdot(\frac{4}{9})^{i}+\frac{1}{3}\cdot(\frac{1}{9})^{i} \)。


有算錯的話，麻煩指正一下

計算 1 的題目，不知道是否記錯。

印象中做過類似的題目，題目為試證 \( 5^{n}\geq1+4n\sqrt{5^{n}} \), 對所有自然數 \( n \) 皆成立

上行的右式，顯然比板友 lairabbit 的大得多了

而證明為 \( 5^{n}-1=4\cdot(1+5+\ldots+5^{n-1})\geq4n\sqrt{5^{n}} \)  by 算幾