填充第 1 題：若 \(f(x)=\left(x-3\right)^2-1\)，求 \(f(|x|)=|f(x)|\) 的實數 \(x\) 的解。

解答提示：

先畫 \(y=(x-3)^2-1\)

　　　

再畫 \(y=f(|x|)\)

　　　

最後畫 \(y=|f(x)|\)

　　　

這樣應該就可以看出當 \(x\) 為何的時候 \(f(|x|)=|f(x)|\) 了！

證明題第 1 題：設非零實數 \(x,y,z\) 滿足 \(\displaystyle x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)，試証：\(x,y,z\) 中至少有一個為 \(1\)。


證明提示：

題目要証 \(x,y,z\) 至少有一個為 \(1\)，

也就是要證 \((x-1)(y-1)(z-1)=0\)

所以，就讓我們把 \((x-1)(y-1)(z-1)\) 乘開來看看，

就會發現～～～～

\(\displaystyle (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1=xyz\left[1-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\right]+(x+y+z)-1=0\)

阿....好吧，把它倒著寫回來，重新描述一下，就是一個完整的証明了。＝＝

第 7 題可以參考 thepiano 老師的漂亮解法：http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2483#p5782

第五題：設函數 \(f(x)=2x^3-3ax^2+6(a-1)x-4\) 的圖形與 \(x\) 軸正向相切，且在切點處 \(f(x)\) 有最小值，求 \(a\) 之值。

解答提示：

先由 \(f\ '( x) =0\) 找出 \(x=1\) or \(a-1\)

因為首項係數為正，所以圖形為


題目說與正向 x 軸相切的時候， \(f(x)\) 有最小值，所以


情況一： 若 \(a-1 <1\)，即 \(a<2\)，則

　　　　由 \(f(1) = 0\)，可解得 \(\displaystyle a=\frac{8}{3}\)，不合。

情況二： 若 \(1<a-1\)，即 \(a>2\)，則

　　　　由 \(f( a-1) = 0\)，可解得 \(a= 0\) or \(3\)


所以 \(a=3\)

填充第 8 題：https://math.pro/db/thread-1102-1-1.html

引用:

原帖由 chiang 於 2011-6-9 09:58 AM 發表


對不起
可以請教一下最後倒數第二個步驟是怎麼來的嗎?

\(\displaystyle\overline{AF}=\frac{b+c-a}{2}=s-a\)

\(\displaystyle\Rightarrow \cot\frac{A}{2}=\frac{\overline{AF}}{\overline{OF}}=\frac{s-a}{r}.\)