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100師大附中

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回復 3# waitpub 的帖子

你的方法沒有錯,只是計算上的錯誤而已。^__^


第 4 題:籃中有大小相同的紅、黃、白球若干個,欲從中拿出 \(8\) 個球排成一列且此列中紅球不能相鄰,則有_____種不同的排法。

解答:

若紅球有 \(0\) 個,則黃、白色球共有 \(8\) 個,排成一直線有 \(2^8\) 種。

若紅球有 \(1\) 個,則黃、白色球共有 \(7\) 個,排成一直線有 \(2^7\) 種,

           再將紅球插空隙,共有 \(2^7C_1^8\) 種。

若紅球有 \(2\) 個,則黃、白色球共有 \(6\) 個,排成一直線有 \(2^6\) 種,

           再將紅球插空隙,共有 \(2^6C_2^7\) 種。

若紅球有 \(3\) 個,則黃、白色球共有 \(5\) 個,排成一直線有 \(2^5\) 種,

           再將紅球插空隙,共有 \(2^5C_3^6\) 種。

若紅球有 \(4\) 個,則黃、白色球共有 \(4\) 個,排成一直線有 \(2^4\) 種,

           再將紅球插空隙,共有 \(2^4C_4^5\) 種。

(如果紅球有五顆以上~則黃白球的空隙就會不夠多了~)

所以,所求共有 \(2^8+2^7C_1^8+2^6C_2^7+2^5C_3^6+2^4C_4^5=3344\) 。

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第 8 題~小弟目前想到的是比較暴力的作法~


第 8 題:求級數 \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n^2-n+1)}{2^n}\) 的和為__________。

解答:

當 \(\left|x\right|<1\) 時,

 \(\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots\) ‧‧‧‧‧‧(第一式)

將上式對 \(x\) 微分,可得

 \(\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots\)

將上式左右同乘上 \(x\) ,可得

 \(\displaystyle \frac{x}{(1-x)^2}=x+2x^2+3x^3+\cdots\)‧‧‧‧‧‧(第二式)

將上式對 \(x\) 微分,可得

 \(\displaystyle \frac{1+x}{(1-x)^3}=1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+\cdots\)

將上式左右同乘上 \(x\) ,可得

 \(\displaystyle \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}=x+2^2x^2+3^2x^3+4^2x^4+\cdots\)‧‧‧‧‧‧(第三式)

由「(第三式)-(第二式)+(第一式)」,再將 \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) 帶入,可得

所求= \(\displaystyle \frac{22}{27}\)。


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再補一個另解,原理是把 (n^2-n+1) 利用多項式的階差~~~ 二次式階差會降成一次式,一次式再用一次階差會降成常數。

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以下解法其實跟 superlori 的解法原理一樣。^__^


第 3 題:設 \(\triangle ABC\) 為等邊三角形, \(D\) 為 \(\triangle ABC\) 內的點。已知 \(\overline{DA}=13\),\(\overline{DB}=12\),\(\overline{DC}=5\),求 \(\triangle ABC\)的邊長為_________。


解答:

設正三角形 \(\triangle ABC\) 的邊長為 \(a\),

將 \(\triangle DAB\)、\(\triangle DBC\)、\(\triangle DCA\) 分別以 \(A\)、\(B\)、\(C\) 為中心,

逆時針旋轉 \(60^\circ\),可得如下圖,



此六邊形面積為原來正三角形面積的兩倍,

而且也是由六個小三角形所構成,

這六個小三角形分別是〝邊長為 5 的正三角形〞
          〝邊長為 12 的正三角形〞
          〝邊長為 13 的正三角形〞
           以及三個〝邊長為 5,12,13 的直角三角形〞
因此,

\(\displaystyle 2\cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{4}{a^2} \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {5^2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {12^2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {13^2}+3\cdot \left( \frac{5\times 12}{2} \right)\Rightarrow a=\sqrt{169+60\sqrt{3}}\)

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回復 12# ejo3vu84 的帖子

觀察 \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n^2-n+1)}{2^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty \left(n^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^n-n\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^n+\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)\)

然後聯想到幾何級數(等比級數) \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^n=\frac{\mbox{首項}}{1-\mbox{公比}}=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}\)

再想到 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\) (其中當 \(|x|<1\) 時,級數會收歛)

然後開始想~要如何拼出 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty n\cdot x^n\) 與 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty n^2\cdot x^n\),

因為聯想到 https://math.pro/db/thread-62-1-4.html 這個例子中的另解的情況~^__^

所以想到用「先微分,再乘 \(x\) 」的方法~ ^__^



註:剛剛發現~~ thepiano 老師寫的 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2484 來自 PTT 網友 a016258 的解法也很棒!!

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計算證明題第 4 題是數論會學到的 Wilson 定理~ ^_____^

敘述與證明詳見:1. http://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem
        或 2. http://primes.utm.edu/notes/proofs/Wilsons.html
       或 3. http://math.ntnu.edu.tw/~li/ent-html/node18.html

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回復 18# iamcfg 的帖子

寫成 \((A - B) C (A - B)= I\) 會比較好,

因為矩陣乘法沒有交換律~

然後 \(C = (A - B)^{-1}  I  (A - B)^{-1} = \left[(A - B)^{-1}\right]^2\)





註:這裡 也有 thepiano 老師的寫法,兩位老師都一樣讚,感謝提供這麼棒的解法。^__^

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計算第 1 題(暴力解XD)



所求 \(\displaystyle=\left(\cos\frac{2\pi}{19}+\cos\frac{4\pi}{19}+\cos\frac{6\pi}{19}+\cos\frac{8\pi}{19}\right)-\left(\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\cos\frac{5\pi}{19}+\cos\frac{7\pi}{19}+\cos\frac{9\pi}{19}\right)\)


\(\displaystyle = \frac{1}{2\sin\frac{\pi}{19}}\Bigg[\left(2\cos\frac{2\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{4\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{6\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{8\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}\right)\)

       \(\displaystyle-\left(2\cos\frac{\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{3\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{5\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{7\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{9\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}\right)\Bigg]\)


(再用積化和差)


\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{19}}\left[\left((\sin\frac{3\pi}{19}-\sin\frac{\pi}{19})+\cdots+(\sin\frac{9\pi}{19}-\sin\frac{7\pi}{19})\right)-\left((\sin\frac{2\pi}{19}-\sin 0)+\cdots+(\sin\frac{10\pi}{19}-\sin\frac{8\pi}{19})\right)\right]\)


\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{19}}\left[\left(\sin\frac{9\pi}{19}-\sin\frac{\pi}{19}\right)-\left(\sin\frac{10\pi}{19}-\sin 0\right)\right]\)


\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\)

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回復 38# mandy 的帖子

先解出 P 點坐標 \(\displaystyle (\sqrt{\frac{1}{1-a}}, \frac{a}{1-a})\),

然後求出 \(OP\) 直線方程式為 \(\displaystyle y=\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\),

再來算出體積為 \(\displaystyle \int_0^{\sqrt{\frac{1}{1-a}}} \pi\left[\left(\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\right)^2-\left(ax^2\right)^2\right]dx\)

       \(\displaystyle =\frac{2\pi a^2}{15\left(1-a\right)^{\frac{5}{2}}}\)


(再來是有點醜陋的暴力解,不知道有沒有人可以提供其他作法,感謝!!)


將 \(\displaystyle \frac{2\pi a^2}{15\left(1-a\right)^{\frac{5}{2}}}\) 對 \(a\) 微分可得 \(\displaystyle \frac{\pi a\left(a+4\right)}{15\left(1-a\right)^{\frac{7}{2}}}\),

解 \(\displaystyle \frac{\pi a\left(a+4\right)}{15\left(1-a\right)^{\frac{7}{2}}}=0\),得 \(a=0\) 或 \(a=-4\),

再稍微討論一下,可得當 \(a=-4\) 時,

所求體積有最大值為  \(\displaystyle \frac{32\pi}{375\sqrt{5}}\)。

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回復 52# shingjay176 的帖子

不失一般性,設 \(\triangle ABC\) 中,\(\angle BAC\geq 120^\circ\),

\(E\) 為 \(\triangle ABC\) 內部異於 \(A\) 之點,

如下圖,可做 \(\triangle ABD, \triangle AEF\) 為正三角形,



可知 \(\triangle ABE\sim \triangle ADF\),

因此 \(\overline{EA}+\overline{EB}+\overline{EC}=\overline{DF}+\overline{FE}+\overline{EC}\)

連接 \(\overline{DE}, \overline{DC}\)



可知 \(\overline{DF}+\overline{FE}+\overline{EC}\geq \overline{DE}+\overline{EC}\)

因為 \(\angle DAB+\angle BAC\geq 60^\circ+120^\circ=180^\circ\)

所以 \(A,E\) 皆在直線 \(CD\) 的同側,且 \(A\) 為 \(\triangle CDE\) 內部之點,

可知 \(\overline{DE}+\overline{EC}\geq\overline{DA}+\overline{AC}\)

故,

\(\triangle ABC\mbox{內部一點} E \mbox{到} A,B,C \mbox{三點頂的距離}=\overline{EA}+\overline{EB}+\overline{EC}\)

  \(=\overline{DF}+\overline{FE}+\overline{EC}\)

  \(\geq \overline{DE}+\overline{EC}\)

  \(\geq\overline{DA}+\overline{AC}\)

  \(\geq\overline{BA}+\overline{AC}\)

  \(=E \mbox{到} A,B,C \mbox{三點頂的距離}\)

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