題目：求 \(x^2+3xy+194(x+y)+97^2=0\) 的所有整數解 \((x,y)\) 。

※　原題目有 \(=0\)。

解答：

\(x^2+3xy+2\times97(x+y)+97^2=0\)

先利用雙十字交乘法（先不考慮常數項，找出分解後 \(x,y\) 的係數，然後再調整適當的常數項）分解成如下：

\(\displaystyle\Rightarrow \left(x+97\times\frac{2}{3}\right)\left(x+3y+97\times\frac{4}{3}\right)=-97^2+97^2\times\frac{8}{9}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \left(3x+97\times2\right)\left(3x+9y+97\times4\right)=-97^2\)

因為 \(x,y\) 為整數，所以左邊的兩個括弧都是整數，

因為 \(97\) 是質數，所以右邊的 \(-97^2\) 分解成兩整數相乘只有六種可能性，

分成六種情況解聯立方程式，可得有三組是 \(x,y\) 兩者都是整數解的，

也就是 \((x,y)=(-97,0), (-65,1024)\) 或 \((-3201,1024).\)



註：感謝老王老師於後方回覆中提醒我漏算的兩組！

感謝，馬上修改＆加上漏掉的兩組！^__^

第 1 題：

設 \(0\leq b\leq1, 0\leq c\leq1\)，

由算幾不等式，可得

\(x^2 + by^2 \geq 2 \sqrt{b}\cdot xy\)

\((1-b)y^2+cz^2 \geq 2 \sqrt{(1-b)c}\cdot yz\)

\((1-c)z^2 + w^2 \geq 2 \sqrt{(1-c)}\cdot zw\)


取 \(b,c\) 滿足 \(\displaystyle\frac{\sqrt{b}}{1} = \frac{\sqrt{(1-b)c}}{2} = \frac{\sqrt{1-c}}{1}\)

\(\displaystyle\Rightarrow b=\frac{(1-b)c}{4}=1-c\)

解得 \(b=3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2,c=2(\sqrt{2}-1)\)


將滿足此條件的 \(b,c\) 帶入最上方列的三個不等式，再將三式相加，可得

\(\displaystyle x^2+y^2+z^2+w^2\geq 2(\sqrt{2}-1)xy+4(\sqrt{2}-1)yz+2(\sqrt{2}-1)zw\)

\(\displaystyle\Rightarrow \frac{xy+2yz+zw}{x^2+y^2+z^2+w^2}\leq\frac{1}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}\)

ps. 這招是之前在某篇ＰＯ文裡看老王老師跟 bugmens 老師有用過的，但是一時忘了到底是哪一篇ＰＯ文。

第 2 題：

先從 12/2 到 12/9 這八天中選出另外要輪值的三天，取法有 \(C^8_3\) 種



12/1 甲單獨值班，只有一種排班法，



對於另外選出來的三天中的每一天，三人都可以「參加」或「不參加」值班，但不可以三人都不參加，

所以這三天的每一天都有 \(2^3-1=7\) 種輪值的方法，



12/10 已知乙一定要值班，另兩人可以選擇「參加」或「不參加」值班，因此這天有 \(1\times2\times2=4\) 種排班法，



因此，所求＝\(C^8_3\cdot1\cdot7^3\cdot4=76832\) 種。