填充9
設\(P(4,3,1)\)，\(Q\)為圓\(\cases{x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13 \cr x+2y+2z=3}\)上之動點，求\(\overline{PQ}\)之最小值
。
[解答]
這題所求發生在 \(P,O,G,O',P'\)皆在同一平面時，
其中 \(O',P'\) 為 \(O,P\) 在平面 \(E:x+2y+2z=3\) 的垂足
其圖如下：
令 \(O'(t,1+2t,5+2t),P'(4+s,3+2s,1+2s) \)，代入平面 \(E\) 中，求得 \(t=s=-1\)
則 \(O'(-1,-1,3),P' (3,1,-1) \) ，求出 \(\overline{OO'}=\overline{PP'}=3,\overline{O'P'}=6,\overline{O'G}=2\)
所以 \(\overline{GP'}=4\Rightarrow \overline{GP}=5\)
填充12題
將\(\overline{PQ}\)連起來，交 \(\overline{ST}\) 在 \(R\)
因為 \(\Delta PSR \) 與 \(\Delta QTR\) 相似，若令 \(\overline{RS}=x\) ，則 \(\overline{RT}=2x\)
再由 \(\angle PAB=\angle QAB=30^{\circ}\) ，可知 \(\overline{AS}=\sqrt{3}\) 且 \(\overline{AT}=2\sqrt{3}\)
所以 \(\overline{AT}=\overline{AS}+x+2x\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
再推得 \(\overline{PR}=2x, ~\overline{RQ}=2x\)
故 \(\overline{PQ}=6x=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\)
