打不開耶，謝謝鋼琴老師～

已修正

謝謝！

寸絲老師，第19題能再更詳細解釋嗎？謝謝！
另外，想請教20題以及計算第三題為什麼最小的x可以這樣假設呢？
謝謝

[ 本帖最後由 math1 於 2021-4-25 15:32 編輯 ]

第 19 題，我換個方法順帶畫個圖
如圖 \(\mathop {OA}\limits^ \rightharpoonup = - \mathop {OE}\limits^ \rightharpoonup = \mathop a\limits^ \rightharpoonup \), \(\mathop {FA}\limits^ \rightharpoonup = \mathop {ED}\limits^ \rightharpoonup = 2\mathop b\limits^ \rightharpoonup \), \(\mathop {GA}\limits^ \rightharpoonup = \mathop {HD}\limits^ \rightharpoonup = \mathop {FI}\limits^ \rightharpoonup = \mathop {EJ}\limits^ \rightharpoonup = 2\mathop c\limits^ \rightharpoonup \)

2021.04.25.110台南女中19ans2.png (11.87 KB)

2021-4-25 18:23

滿足\(|\alpha | \le 1\), \(|\alpha + \beta | \le 1\), \(\mathop {OP}\limits^ \rightharpoonup = \alpha \mathop a\limits^ \rightharpoonup + \beta \mathop b\limits^ \rightharpoonup \)，點 P 所形成圖形為平行四邊形 \(ADEF\)，其中 \(\overline {AD} ,\overline {EF} \) 滿足 \(\alpha + \beta = 1, - 1\)，平行的四邊形內，與\(\overline {AD} \)平行的線段亦滿足 \(\alpha + \beta \) 為常數(在線段上為常數)。

又題意中，\(|\alpha + \beta + \gamma | \le 1\)，因此 \( - (\alpha + \beta ) - 1 \le \gamma \le - (\alpha + \beta ) + 1\)，故滿足題意之點 P 所形成的圖形為平行六面體 \(ADJI - GHEF\)

2021.04.25.110台南女中19ans1.png (16.3 KB)

2021-4-25 18:23

所求體積 \( = |\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {AD}\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop {AI}\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop {AG}\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)|\) \( = |\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2\mathop a\limits^ \rightharpoonup + 2\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{-2\mathop b\limits^ \rightharpoonup + 2\mathop c\limits^ \rightharpoonup }&{ - 2\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)|\) \( = 8|\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop a\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)| = 48\)

註：以上向量，皆視作 \( 3 \times 1 \) 的矩陣

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-25 21:52 編輯 ]

計算 3. 自己重寫，沒有那樣令 \( x \)，前半部不重要，紅字的部分應該才是重點。

令 \(f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{99} {[{2^k}x]} \)，則\(f(x)\)為遞增函數。
對於任意整數 n, \(f(x + n) = f(n) + f(x)\), \(f(n) = n \cdot ({2^{100}} - 1) \)。(修正原兩個 k 混用，表達錯誤)

設 \({x_0}\) 為滿足題意之實數。
\(f({2^{134}}) = {2^{234}} - {2^{134}} < {2^{234}}\)，
令 \({x_1} = {x_0} - {2^{134}}\)，則 \({x_1}\) 為最小的實數滿足  \(f({x_1}) = {2^{134}}\)。

而 \(f({2^{34}}) = {2^{134}} - {2^{34}} < {2^{134}}\)，
令 \({x_2} = {x_1} - {2^{34}}\)，則 \({x_2}\) 為最小的實數滿足\(f({x_2}) = {2^{34}}\)，

而 \(f({2^{ - 66}}) = \sum\limits_{k = 0}^{99} {[{2^{k - 66}}] = {2^{34}} - 1} \)。

設 \(0 < x \le {2^{ - 99}}\)，則 \(0 < {2^{ - 66}} + x < {2^{ - 65}}\)，
                        當 \(0 \le k \le 65\) 時，\([{2^k} \cdot ({2^{ - 66}} + x)] = 0 = [{2^k}         \cdot ({2^{ - 66}})]\)
                        當 \(66 \le k \le 98\) 時，\([{2^k} \cdot ({2^{ - 66}} + x)] = {2^{k - 66}} + [{2^k}x] = [{2^k} \cdot ({2^{ - 66}})]\)
                        \([{2^{99}}({2^{ - 66}} + x)] = \left\{ \begin{array}{l}{2^{33}} = [{2^{99}} \cdot ({2^{ - 66}})]{\rm{, if }}x < {2^{ - 99}}\\{2^{33}} + 1{\rm{, if }}x = {2^{ - 99}}\end{array} \right.\)

因此有 \({x_2} = {2^{ - 66}} + {2^{ - 99}}\) 為最小實數滿足 \(f({x_2}) = {2^{34}}\)，故所求 \({x_0} = {2^{134}} + {2^{34}} + {2^{ - 66}} + {2^{ - 99}}\)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:41 編輯 ]

第 20 題
a_(n + 3) + a_(n + 1) = a_(n + 2) + a_n
a_4 + a_2 = a_3 + a_1
a_5 + a_3 = a_4 + a_2
a_5 = a_1
同理 a_100 = a_24 = 71，a_99 = a_75 = 13

所求 = (- a_1 + a_2 - a_3 + a_4) + (- a_5 + a_6 - a_7 + a_8) + ...... + (- a_97 + a_98 - a_99 + a_100) + (- a_101 + a_102)
= - a_101 + a_102
= a_99 - a_100
= - 58

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-25 19:42 編輯 ]

a+b+c=0
-6-3abc=a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(........)=0 => abc=-2
(a-b)^2=(a+b)^2-4ab>=0  => c [(a+b)^2] - 4abc<=0  (c<0)
=> c(-c)^2+8<=0 => c^3<=-8 => c<= -2  , 故 c的最大值為 -2 , 此時 a=b=1

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-4-26 12:56 編輯 ]

1.附圖形

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2021-4-26 23:29 編輯 ]

填充2
自\(P_1(1,0)\)作\(x\)軸的垂直線交拋物線\(y=x^2\)於\(Q_1(1,1)\)，再由\(Q_1\)作此拋物線的切線交\(x\)軸於\(P_2\)，又自\(P_2\)作\(x\)軸的垂線交此拋物線於\(Q_2\)，如此依序進行，試求級數\(\overline{P_1Q_1}+\overline{P_2Q_2}+\ldots+\overline{P_nQ_n}+\ldots\)之和。
[解答]
牛頓法
等比級數1+1/4+1/16=....=1/(1-1/4)=4/3

113.5.4補充
自\(P_1(1,0)\)作\(x\)軸的垂直線交拋物線\(y=x^2\)於\(Q_1(1,1)\)，再由\(Q_1\)作此拋物線的切線交\(x\)軸於\(P_2\)，又自\(P_2\)作\(x\)軸的垂線交此拋物線於\(Q_2\)，如此依序進行，試求級數\(\overline{P_1Q_1}+\overline{P_2Q_2}+\ldots+\overline{P_nQ_n}+\ldots\)之和。
(113全國高中職聯招，https://math.pro/db/thread-3859-1-1.html)