引用:

原帖由 waitpub 於 2011-4-28 09:48 PM 發表
請問第六題：已知等腰三角形，若腰上的中線長為6。求三角形面積的最大值為何?

假設AB=AC
重心為G
那麼GB=GC=4
三角形GBC面積最大在角BGC=90度的時候，此時面積為(GBC)=8
(ABC)=3*(GBC)=24

同時間有三個人回文，解題還慢了一步，我還是補充資料就好了

6.已知等腰三角形，若腰上的中線長為6。求三角形面積的最大值為何？

若一等腰三角形的底邊上的高等於18cm，腰上的中線等於15cm。則這個等腰三角形的面積等於？
(初中數學競賽指導)

已知直角三角形的周長為\( 2+\sqrt{6} \)，斜邊上的中線長為1，求這個三角形的面積？
雖然解題沒用到重心，但條件也有中線，故放在一起

101.1.10補充
有一個直角三角形，斜邊上的中線長為1，周長為\( 2+\sqrt{6} \)，求此三角形的面積為？
(100卓蘭實驗高中，https://math.pro/db/thread-1165-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-1-10 06:08 PM 編輯 ]

國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選（清華原住民教育實驗專班）

第 6 題：已知等腰三角形，若腰上的中線長為 \(6\)，求三角形面積的最大值為何？



解答：


設底邊長為 \(2a\)，與底邊垂直之高長為 \(b\)，


則腰長為 \(\sqrt{a^2+b^2}\)，


由三角形的中線定理，可得 \(\displaystyle \left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2+(2a)^2=2\left(\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2+6^2\right)\)，


整理可得 \(9a^2+b^2=144\)（或是，如下圖，套用畢氏定理亦可得此式，感謝 bugmens 提供此想法。）

由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{9a^2+b^2}{2}\geq\sqrt{9a^2\cdot b^2}\Leftrightarrow 72\geq 3ab\Leftrightarrow 24\geq \frac{2a\cdot b}{2}\)


所以，此三角的最大面積為 \(24\)。（此時，\(a=2\sqrt{2}\)，\(b=6\sqrt{2}\)。）

另外請教一下第三題，有想過要中線定理，也想利用ACE面積是ACD面積兩倍，然後用1/2absin去算，但就是算不出來!!

國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選（清華原住民教育實驗專班）

第 3 題：如下圖， \(\triangle ABC,\, \angle C=90^\circ,\, \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB},\, \angle ACD=\alpha,\, \angle DCE=\beta,\, \angle ECD=\gamma\)，

    　　　求 \(\displaystyle\frac{\sin\alpha\cdot\sin\gamma}{\sin\beta}=?\)

解答：

\(\displaystyle\frac{\sin\alpha\cdot\sin\gamma}{\sin\beta}\)


\(\displaystyle=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{2}\overline{AC}\cdot \overline{BC}}\cdot\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\overline{CD}\cdot \overline{AC}\sin\alpha\cdot\frac{1}{2}\overline{CE}\cdot \overline{BC}\sin\gamma}{\displaystyle\frac{1}{2}\overline{CD}\cdot \overline{CE}\sin\beta}\)


\(\displaystyle=\frac{1}{\triangle ABC\mbox{面積}}\cdot\frac{\triangle ACD\mbox{面積}\cdot \triangle BCE\mbox{面積}}{\triangle CDE\mbox{面積}}\)


\(\displaystyle=\frac{1}{\triangle ABC\mbox{面積}}\cdot\frac{\displaystyle\frac{1}{3}\triangle ABC\mbox{面積}\cdot \frac{1}{3}\triangle ABC\mbox{面積}}{\displaystyle\frac{1}{3}\triangle ABC\mbox{面積}}\)


\(\displaystyle=\frac{1}{3}\)

謝謝老師們的解說!

請教各位老師填充第三題最小值已求出
Q點我自己算是(   (6-√3)/11, (2√3-1)/11    )
跟答案差很多~~不曉得是不是我算錯還是觀念有誤
謝謝!!

引用:

原帖由 weiye 於 2010-5-13 01:47 PM 發表


設 \( x,y,z \)為正實數，\( \displaystyle \left\{\ \matrix{9=x^2+y^2+xy \cr 16=y^2+z^2+yz \cr 25=z^2+x^2+zx }\right. \)，求\( x+y+z= \)？

解答： ...

weiye大您好!!

謝謝您提供這麼好的方法!!
還想請教這邊P點(也就是費馬點)的實際座標，該如何下手?完全沒頭緒...

感謝回答~

想到了可以讓C點旋轉60度得D點座標
又因為B-P-D在同一條線上，所以可以做出P點的參數式
再利用向量PA、向量PB所夾120度可得P

但是這樣一來數字變的很複雜...有沒有其他的好方法呢?

[ 本帖最後由 icesnow1129 於 2011-5-19 04:05 PM 編輯 ]

分別以 \(A, B\) 為中心，將 \(C\) 分別以逆時針、順時針旋轉 \(60^\circ\)，

設旋轉後的兩點分別為 \(D\) 與 \(F\)，

則 \(\overline{AF}\) 與 \(\overline{BD}\) 的交點即為 \(P\) 點。

第一題的解答打錯了，應該是3的立方根<x<27。