(1) \( z=1\)， \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0\)，不可能有解，因為\(x\)、\(y\)都是自然數。

(2)  \( z=2\)，\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\)，可以討論出，\(x=4\)，\(y=4\)。
\((x,y,z) = (4,4,2) \vee (4,2,4) \vee (2,4,4)\)  3組

(3)  \( z=3\)，\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}\)，可以討論出，\(x=3\)，\(y=3\)。
\((x,y,z) = (3,3,3)\)  1組

漏了一組 \( (x,y,z) =(6,3,2)\)  \(3!=6\)

6+3+1=10

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-21 06:05 PM 編輯 ]

10. 空間中 10 個相異平面，最多能將空間分割成　　個區域。

解: 1+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3)=176

關於上述公式，bugmens 老師在 "我的教甄準備之路" https://math.pro/db/thread-661-2-1.html 有詳細的介紹。當中所聯結"科學教育月刊"的文章(作者: 阮圓真)，是以遞迴關係配合累加的方式證明。在此試用稍微不同的角度來考察，或可幫助進一步體會與記憶此公式。

以下所提的組合數皆指"廣義二項係數"。故: 當 a<b 時，C(a,b) = 0。


先由一維開始:

* 直線上 n 個相異點，最多能將此直線分割成　　個區域。

解: 由於多加入 1 點就多一區域，所求 = 1(初始狀態)+點數 = 1+n
(即: "點、線的個數和")


接著考慮二維:

* 平面上 n 條相異直線，最多能將此平面分割成　　個區域。

解: 考慮增加一條直線時，該直線被分割成的"段數"即平面增加的區域數，其等於 "1+新增的交點數" (可由一維情況推得)。可以把前述的 "1" 視為 "新增的直線數"，則所求 = 1(初始狀態)+直線數+交點數 = 1+C(n,1)+C(n,2)
(即: "點、線、面的個數和")


再來考慮三維:

* 空間中 n 個相異平面，最多能將此空間分割成　　個區域。

解: 考慮增加一個平面時，該平面被分割成的"平面區域數"即空間增加的區域數，其等於 "1+新增的交線數+新增的交點數" (可由二維情況推得)。可以把前述的 "1" 視為 "新增的平面數"，則所求 = 1(初始狀態)+平面數+交線數+交點數 = 1+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)
(即: "點、線、面、體的個數和")


比較:

* 在圓上任取 n 個點，兩兩相連所得的弦，最多將此圓內部分割成　　個區域。

解: 考慮增加一條弦時，該弦被分割成的"段數"即圓內增加的區域數，其等於 "1+新增的圓內交點數"。可以把前述的 "1" 視為 "新增的弦數"，則所求 = 1(初始狀態)+弦數+圓內交點數 = 1+C(n,2)+C(n,4)

* 一個凸 n 邊形的所有對角線，最多將這個 n 邊形的內部分割成　　個區域。

解: 易知上一題的答案減 n 即為所求 = 1-n+C(n,2)+C(n,4) (另解可見上述 "我的教甄準備之路")

* 平面上 n 個圓，最多能將此平面分割成　　個區域。若將圓分別改成橢圓及三角形，則其結果分別為何?
(105臺北市立大理高中 https://math.pro/db/thread-2506-1-5.html)

thepiano 老師已經在該帖提示了解法與答案，現把這題放在此做個比較。

解: (圓) 考慮增加一個圓時，該圓被分割成的"段數"即平面增加的區域數。而從第2個圓開始，新增圓被分割成的"段數" 等於 "新增的交點數" (與上述各題不同，本題討論的封閉曲線遞推式沒有 "1")。

因此從 "1個圓" 為初始狀態，所求 = 2(初始狀態)+交點數 = 2+2*C(n,2)

同理，橢圓 = 2+4*C(n,2)，三角形 = 2+6*C(n,2)


* 空間中的 n 個球面，最多能將此空間分割成　　個區域。

解: 考慮增加一個球面時，該球面被分割成的"球面區域數"即空間增加的區域數。仿上一題(平面上 n 個圓)的推論知，從第2個球面開始，新增球面被分割成的"球面區域數" 等於 "2+新增的交點數"。

因此從 "1個球面" 為初始狀態，所求 = 2(初始狀態)+2*增加的球面數+交點數 = 2+2(n-1)+2*C(n,3) = 2n+2*C(n,3)
[ 即: 2*球面數+交點數 ]   *註: 每3個球面產生2個交點


# 感謝 bugmens 老師在樓下的肯定。最近拜讀大作，似有感悟，不揣淺陋發文拋磚引玉，希望版上大大們亦不吝分享心得。



[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-1-5 11:52 AM 編輯 ]

cefepime這篇文章太棒了，公式很容易就背起來

設\((1+x)^n=C_0^n+C_1^nx+C_2^nx^2+C_3^nx^3+\ldots+C_n^nx^n\)，則\(C_1^n+2^2C_2^n+3^2C_3^n+4^2C_4^n+\ldots+n^2C_n^n=\)　　　。

請問版上老師第14題  用微分的方式要怎樣求出呢?

湊不出來阿!

微分一次後，乘x再微分一次。

[ 本帖最後由 koeagle 於 2018-9-4 02:58 編輯 ]

謝謝koeagle老師,清楚了

回復 25# koeagle 的帖子

14. n ∈ N，則 C(n,1) + 2² C(n,2) + 3² C(n,3) + ... + n² C(n,n) = ?

解四:

想法: 為所求式構思一個計數的模型，再利用 double counting ("算兩次") 解之。

所求式意義: 今有 n 個人，欲由若干人組隊參加益智問答比賽。該賽事有 2 題，每題限由 1 人回答，答題者可重複 ⇒ 隊伍陣容與答題者的組合數。

所求式是先考慮組隊方式，再考慮答題者。現改為: 先考慮答題者，再由其它人選出答題者的隊友，則方法數為

恰 1 人答題的方法 + 恰 2 人答題的方法

= n*2ⁿ⁻¹ + n(n-1)*2ⁿ⁻²

理論上這個推論過程只適合於 n ≥ 2，故對於 n = 1 應另行說明。



這個方法可以較易地推至更高次方，例如 n ∈ N，求

C(n,1) + 2³ C(n,2) + 3³ C(n,3) + ... + n³ C(n,n)

= 恰 1 人答題的方法 + 恰 2 人答題的方法 + 恰 3 人答題的方法

= n*2ⁿ⁻¹ + 3n(n-1)*2ⁿ⁻² + n(n-1)(n-2)*2ⁿ⁻³


當然，大家所熟悉的

C(n,1) + 2* C(n,2) + 3* C(n,3) + ... + n* C(n,n) = n*2ⁿ⁻¹

也可以用這個想法得出。

謝謝cefepime老師，講解得很清楚而且很好記！
想請問一下，答3題時的情況，恰2人答題的方法是不是\( n(n-1)*2^{n-2} \)？
還是前面的3倍有其他的意思呢？

[ 本帖最後由 koeagle 於 2018-9-5 01:35 編輯 ]

回復 28# koeagle 的帖子

在 27# 的方法中，每個題目是相異的。3 個題目，恰 2 人答題時，還要考慮答兩題的人是答哪兩題，故乘上 C(3, 2)。


又如: n ∈ N

C(n,1) + 2⁴ C(n,2) + 3⁴ C(n,3) + ... + n⁴ C(n,n)

= 恰 1 人答題的方法 + 恰 2 人答題的方法 + 恰 3 人答題的方法 + 恰 4 人答題的方法

= n*2ⁿ⁻¹ + 7n(n-1)*2ⁿ⁻² + 6n(n-1)(n-2)*2ⁿ⁻³ + n(n-1)(n-2)(n-3)*2ⁿ⁻⁴

以上:

7: 分成 2人 答  2題+2題  與  3題+1題 ⇒ 3 + 4 = 7

6: 某2題由同1人回答 ⇒ C(4,2) = 6

謝謝cefepime老師的詳細說明。