感謝thepiano、cefeprime 大大詳解！！

引用:

原帖由 thepiano 於 2016-6-17 03:07 PM 發表
第8題
\(\begin{align}
  & \log {}_{a}10+\log {}_{b}10+\log {}_{c}10=\log {}_{abc}10 \\
& \frac{1}{\log a}+\frac{1}{\log b}+\frac{1}{\log c}=\frac{1}{\log \left( abc \right)} \\
& \log a=x,\log b=y ...

借一下鋼琴兄這個:
1/x +1/y +1/z =1/ (x+y+z)
推得(x+y)(y+z)(z+x)=0
考生可以把這個記起來
否則考試還要花很多時間證

或是用輪換的方式也可以證

引用:

原帖由 cefepime 於 2016-6-17 03:22 PM 發表
第 2 題，分享一個另解。

設 x, y, z 為正實數，試證明: x / (3x+y+z)  + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ≤ 3/5。

想法: 這種分式型的題目，有時可利用 "排序不等式" 解。(105松山高中計算證明題 4 亦同，請參考 http://m ...

這題也可以用"琴生不等式"
你們可以想想看

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2016-6-17 10:46 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 Ellipse 於 2016-6-17 10:31 PM 發表

這題也可以用"琴生不等式"
你們可以想想看

謝謝 Ellipse 老師的提示，嘗試一做:


設 x, y, z 為正實數，試證明: x / (3x+y+z)  + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ≤ 3/5。


證明:

因左式為零次齊次函數, 不妨設 x+y+z = 1，原題即證: x / (2x+1) + y / (2y+1) + z / (2z+1) ≤ 3/5。

考慮函數 f(t) = t / (2t+1)，當 t > 0，其為凹口向下 (concave) 函數。  [ 因當 t > 0，g(t) = 1 / (2t+1) 凹口向上; 或因 f''(t) > 0 ]

由 Jensen 不等式:

[ f(x) + f(y) + f(z) ] / 3 ≤ f((x+y+z)/3) = f(1/3)

⇒ x / (2x+1) + y / (2y+1) + z / (2z+1) ≤ 3/5，得證。

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上文提到的 "不妨設 x+y+z = 1"，也可以使利用柯西不等式的證明看起來精簡些，如下:

設 x+y+z = 1，原題即證: x / (2x+1) + y / (2y+1) + z / (2z+1) ≤ 3/5

由柯西不等式:

[ (2x+1) + (2y+1) + (2z+1) ] * [ 1/(2x+1) + 1/(2y+1) + 1/(2z+1) ] ≥ 9

⇒ 1/(2x+1)  + 1/(2y+1) + 1/(2z+1) ≥ 9/5

⇒ 1 - [ 2x/(2x+1) ] + 1 - [ 2y/(2y+1) ] + 1 - [ 2z/(2z+1) ] ≥ 9/5

⇒ x / (2x+1) + y / (2y+1) + z / (2z+1) ≤ 3/5，得證。


[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-19 02:11 PM 編輯 ]

第 2 題，參考 thepiano 老師之前的帖 (https://math.pro/db/thread-2436-2-3.html)，亦可採用算幾不等式。

(聯想: 算幾⇔柯西 ; 排序⇒算幾&柯西 ; 琴生⇒算幾&柯西 → 公告解答用柯西證明，暗示了用算幾，排序，及琴生不等式的可行性)。

設 x, y, z 為正實數，試證明: x / (3x+y+z)  + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ≤ 3/5。

證明:

令 3x+y+z = a，x+3y+z = b，x+y+3z = c ⇒ x = (4a-b-c)/10，y = (-a+4b-c)/10，z = (-a-b+4c)/10

原題即證:  

(4a-b-c)/a + (-a+4b-c)/b + (-a-b+4c)/c ≤ 6

⇔ 6 ≤ [(b/a) + (a/b)] + [(c/b) + (b/c)] + [(c/a) + (a/c)]

由算幾不等式，右式 ≥ 2+2+2 = 6，得證。

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再來一個: 切線法 (利用切線的放縮法)

觀察原式，當 (x, y, z) = (1, 1, 1) 時可取等號 ⇒ 取函數 f(x) = 3x/25 + 2/25

先證: 當 x > 0，

x / (2x+3) ≤ 3x/25 + 2/25 ... (*)

⇔ 25x ≤ 6x² + 13x + 6

⇔ 0 ≤ (x - 1)²，成立。


回到題目式，不妨設 x+y+z = 3   [ 因上文是依據 (x, y, z) = (1, 1, 1) 分析 ]

原題即證:

x / (2x+3)  + y / (2y+3) + z / (2z+3) ≤ 3/5

由 (*) 式， 有:

x / (2x+3) ≤  3x/25 + 2/25 ... (1)

y / (2y+3) ≤  3y/25 + 2/25 ... (2)

z / (2z+3) ≤  3z/25 + 2/25 ... (3)

(1)+(2)+(3)

x / (2x+3)  + y / (2y+3) + z / (2z+3) ≤ 3/5，得證。


[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-18 08:47 AM 編輯 ]

又發現到一件事情，第10題題目裡並沒有給出O點就是原點這件訊息吧?

所以其實題目是有瑕疵的，因為T是以原點為中心旋轉

要的話題目應該要加上O為原點，或是改後面題目任意三角形OPQ變換為O'P'Q'