如附件~

103.6.2補充
公佈試題疑義結果
數學科　填充第4題　原公告答案2x+9y=0　更正為x=9ty=−2t ，−110t110

單1:
法1:遞迴關係
P_n=0.8*P_(n-1)+0.6*[1- P_(n-1)]
得5*P_n= P_(n-1) +3
整理成P_n - 3/4= (1/5 )*[P_(n-1) - 3/4]
=.............=(1/5)^(n-1) *(P1-3/4)
P_n的極限值為3/4

法2:轉移矩陣
假設穩定後命中的機率為s ,不命中的機率為t
利用轉移矩陣性質可得0.8s+0.6t=s ,s+t=1
解出所求s=3/4
[註:這題的0.8若改a, 0.6改b ,所求=b/(1-a+b) ]

單2:
所求:首項=(1/2)*(2²-1²)=3/2,公比=1/16的無窮等比級數和
即(3/2) / [1-(1/16)] =8/5

單5:
令t=x-2 ,即求t²=2^t-----(*) 的實根個數
畫圖可知,當t>0時t=2,4 符合(*)解
當t<0也有一解,共3解

單6:
有名的錯排題目
秒殺做法:
若是n個人(n趨近無窮)
其答案為1/e約0.367879
(e約2.71828,就是歐拉數)

單7:
利用-1<=sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb<=1
得-3/2<=cosa*sinb<=1/2-------(1)
-1<=sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb<=1
得-1/2<=cosa*sinb<=3/2-------(2)
由(1)&(2)得-1/2<=cosa*sinb<=1/2

單8:
判別式D=(-a)²-4(a²-4)>0 ,a²<16/3
兩根積a²-4<=0 , -2<=a<=2
a可能為-2,-1,0,1,2
a=-2代入方程式不合
(紅色處感謝Superconan 兄指正)

填1:
A的兩個矩陣都是旋轉矩陣,左邊(逆時針)轉90度,右邊(逆時針)轉300度
共轉390度, 先除以360 ,得餘數=30度
30*12=360 ,n最小值為12

填4:
4x^2+9y^2=36 兩端對x微分
得8x+18y*(dy/dx)=0
dy/dx = -4x/(9y) = 2
所求為2x+9y=0

計1:
法1:配方法
x=4-2t ,y=t ,z=-2+t (t為實數)
代入x²+y²+z²=(4-2t)²+t²+(t-2)²
=6t²-20t+20
當t=5/3時,所求=10/3 有最小值
(註:這題若亂用科西不等式會錯)

法2:向量內積
假設直線L為三平面的交線
則L的方向向量t=(-2,1,1)
P(4-2t ,t ,-2+t)在L上,O(0,0,0)
所求為OP²的最小值,此時向量OP垂直方向向量t
兩向量內積為0, 即 -2(4-2t)+t+(-2+t)=0,解得t=5/3
再算OP²=10/3

法3:距離公式+正餘弦定理
(過程省略,因為有點複雜~還是不要用這招)

計3:
n²+103n+2014= [(2n+103)²-2553]/4
改為證明(2n+103)²-2553不為8000的倍數
因為2n+103為奇數,(2n+103)²個位數必為1或5或9
所以(2n+103)²-2553個位數不會有0,不為8000的倍數

計4:
先證sina*cosa為有理數 [利用 (sina+cosa)²=1+2sina*cosa ]
再用歸納法證明:
(sina)^n +(cosa)^n=(sina+cosa)[(sina)^(n-1)+(cosa)^(n-1)]- (sina*cosa)[(sina)^(n-2)+(cosa)^(n-2)]
為有理數~

考古題:
多12
填7
...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-1 12:06 AM 編輯 ]

計算3
n^2+103n=n(n+103) 的個位只可能是0，4，8
不可能是6， 原題得證
手機發文，請見諒



103.12.5版主補充
順著thepiano的解答，你可以再思考以下的問題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3332

1.(mod10)要討論10種情況，那在挑同餘的數字時可不可以少一點？
(mod2)、(mod3)、(mod4)、(mod5)、(mod6)、…哪個同餘的數字也能證明不是2000的倍數。

2.其實這類題目出自於數學歸納法單元，只是這單元的題目都是證明是某數的倍數，那103全國聯招這題要證明"不是"2000的倍數能不能用數學歸納法證明？

3.以下幾題請用同餘的方法證明。
(1)證明23n−1恆為7的倍數？

(2)證明11n+1永遠不是2014的倍數。

(3)設n為自然數，試以數學歸納法證明：5n5+2n4+3n3−n30為一自然數
(101全國聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&page=1#pid6023)

(4)n為正奇數，證明256整除n8−n6+n4−3n2+2
(102大同高中，https://math.pro/db/thread-1593-1-9.html)

4.同餘的方法比起數學歸納法有什麼優缺點？

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-12-5 09:05 PM 編輯 ]

感謝橢圓兄提供題目：

計算4：
an+2=a1an+1−2a12−1an , 利用強數學歸納法可得證

沒看到橢圓兄已更新本題，速度太快了XD

填充第3題：先整理個一般化的情況

令R=  cos    sin  −sin  cos   , 表示以原點為中心逆時針繞角的旋轉矩陣；
M=  cos    sin  sin  −cos   , 表示對直線 y=tan2x  鏡射的鏡射矩陣，則
(1) (先旋轉後鏡射)
   

MR=  cos−    sin−  sin−    −cos−     

合成後即為對直線y=tan2−  x 鏡射
(2) (先鏡射後旋轉)
   

RM=  cos+    sin+  sin+    −cos+     

合成後即為對直線y=tan2+  x 鏡射
本題為(1) 之情形，將=80=30代入 得到所求直線為 y=tan−25  x ,
應題目要求將角度調成155, 故選(C)

又沒看到興傑兄已經在 #12講解了本題XD，也請參考興傑兄的更直觀的圖形看法

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 07:49 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-5-31 12:56 PM 發表
感謝橢圓兄提供題目：

計算4：
an+2=a1an+1−2a12−1an , 利用強數學歸納法可得證

沒看到橢圓兄已更新本題，速度太快了XD ...

沒關係啦~
連po幾題,喘口氣~
先把解題棒子交給您們~

A²=-2A
(A+I)²=A²+2A+I=I
所求(A+I)^2014=I^1007=I

複選10：
2loga−logb=−4a=b1002N100b , 令b=100k, 再由a的範圍知
3600000b24000000360k2400k=19a=361, 選(A)(B)


複選12：
(A) 由二項式定理可看出
(B) 3+2n3−2n=7n=an2−2bn27nbn2=an2bn2−2 
    左式極限為0, 故\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{b}_{n}}^{2}}=2, 由{{a}_{n}},{{b}_{n}}>0知 \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\sqrt{2}
(C) {{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{n+1}}=\left( 3{{a}_{n}}+2{{b}_{n}} \right)+\left( {{a}_{n}}+3{{b}_{n}} \right)\sqrt{2} 故{{a}_{n+1}}=3{{a}_{n}}+2{{b}_{n}}, {{b}_{n+1}}={{a}_{n}}+3{{b}_{n}}
(D) {{m}_{n}}=\frac{{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}}{{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}}=\frac{{{a}_{n}}+2{{b}_{n}}}{2{{a}_{n}}+2{{b}_{n}}}=\frac{\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}+2}{2\cdot \frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}+2}\to \frac{\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}+2}\ne \sqrt{2} as n\to \infty

故答案為ABC ~有計算錯煩請指證

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 04:28 PM 編輯 ]

填充6：
{{a}^{\log ax}}={{b}^{\log bx}}\Rightarrow \left( \log ax \right)\log a=\left( \log bx \right)\log b\Rightarrow \log x=-\left( \log ab \right)\Rightarrow x=\frac{1}{ab}, 故
所求為{{\left( ab \right)}^{\log \left( abx \right)}}=a{{b}^{\log 1}}=1

ab\ne 1條件拿掉對答案應該也無傷大雅，還是只是不想讓考生猜XD

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 02:41 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-5-31 02:25 PM 發表
填充6：
{{a}^{\log ax}}={{b}^{\log bx}}\Rightarrow \left( \log ax \right)\log a=\left( \log bx \right)\log b\Rightarrow \log x=-\left( \log ab \right)\Rightarrow x=\frac{1}{ab}, 故
所求為\({{\left(  ...

這題題目出的不錯~
您也解得很漂亮

橢圓兄~我今天還在思索你的"凡德爾夢"行列式中XD

推理了橢圓兄的單選6的秒殺做法：
n個人的錯排機率為 \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\ldots +{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{1}{n!}, 取極限後
\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\ldots +{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{1}{n!} \right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k!}}={{e}^{-1}}=\frac{1}{e}\approx 0.367879

取n=10時誤差已經很小了~故選擇0.35
原來如此，又學了一招必殺，沒想過還真的不知道XD

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 03:44 PM 編輯 ]