考了十三題計算證明題。。
剛考回來。。提供第一題(這一提到後來考場上有想到，等等把證明貼上來)
隨機變數X服從二項分配(n, p).. 試證明E(X)=np, var(X)=np(1-p)
Pk是投擲成功k次的機率

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2013-5-13 02:14 PM 編輯 ]

感謝提供試題。

隨機變數這題，可以用期望值的性質。即令 Xi  i.i.d. 的白努力試驗，滿足 Xi=0 或 1，而且 P(Xi=1)=p

則 X1+X2+X3++Xn 和 X 有相同之分布，故期望值和變數異皆相相等。

而得 E(X)=np, Var(X)=np(1−p)

三平面這題

令 ni=(aibici)。若 =0 ，則方程式有唯一解，而得三平面交於一點，故 =0，所以 ni's 線性相依。

不失一般性可假設 n3=n1+n2

將第三式減法 ( 第一式乘法 及第二式乘上 ) 可得一新的方程組，記之為

a1x+b1y+c1za2x+b2y+c2z0x+0y+0z=d1=d2=，其中 =d3−d1−d2。

由三平面相交之情，得 =0 和 n1n2=0
(感謝 casanova，指出筆誤，紅字部分已修正之)

注意這樣的消去(列運算，不改變各行列式之值。

故 xyx=n1n2=0

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 11:35 PM 編輯 ]

抄在准考證上的，有些條件可能會遺漏

大家參考看看

11.
z1=z2=3，z1−z2=33 ，log3(z1z2)20−(z1z2)20=？

已知Z1Z2均為複數，若Z1=Z2=3，Z1−Z2=33 ，則log3(Z1Z2)20+(Z1Z2)20之值為多少？
(2008TRML團體賽)


13.
xyz0，x2+xy+3y2=173y2+x2=5z2+xz+x2=8，求xy+2yz+3xz的值。
[提示]
x2+y32−2xy3cos150o=172 

y32+z2=52 

z2+x2−2xzcos120o=82 

邊長17 、5 、8 的三角形會落在長為4寬為2的長方形中，三角形面積為3
143xy+2yz+3xz=21xy3sin150o+21zy3sin90o+21xzsin120o 


正數x,y,z滿足方程組 x2+xy+3y2=253y2+x2=9z2+xz+x2=16 ，求xy+2yz+3xz的值。
(高中數學競賽教程P261)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid7654

112.4.25補充
已知x、y、z為三個實數且滿足x2+y2=18y2+3yz+z2=13x2+xz+z2=19，則2xy+yz+3xz= 　　　。
(112師大附中，https://math.pro/db/thread-3735-1-1.html)


102.5.12補充
4.
三平面兩兩相交一直線，且三直線平行，證明=0，xyz至少有一個不為0


設E1：a1x+b1y+c1z=d1，E2： a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 ， E_3 ： a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 為空間中三平面，令
\Delta=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & c_1 \cr a_2 & b_2 & c_2 \cr a_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; ， \Delta_x=\Bigg\vert\; \matrix{d_1 & a_1 & c_1 \cr d_2 & b_2 & c_2 \cr d_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; ， \Delta_y=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & d_1 & c_1 \cr a_2 & d_2 & c_2 \cr a_3 & d_3 & c_3} \Bigg\vert\; ， \Delta_z=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & d_1 \cr a_2 & b_2 & d_2 \cr a_3 & b_3 & d_3} \Bigg\vert\; ，
試證：若此三平面相異且相交於一直線，則 \Delta=\Delta_x=\Delta_y=\Delta_z=0
(97松山家商，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554 連結已失效)
在網頁最底下有一篇文章可以看，蘇俊鴻　用向量來看平面族定理https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid4748

這題目在考場，一瞬間沒有想法，就先跳過。等待 bugmens 老師的解答。
第十三題我現場直覺應該是餘弦定理，畫圖去思考，不過時間不夠，就沒有去寫完這題
。好像哪一年的中壢高中考題出過。

寫寫 12 題

\frac{\sin 9x}{\sin x}+\frac{\cos 9x}{\cos x} = \frac{2\sin 10x}{\sin 2x}。

令 t = 2x ，則上式為 \frac{2\sin 5t}{\sin t} 。

由和角公式、及 |\cos x|\leq 1 可遞推得 |\sin nt| \leq n |\sin t|, n \in \mathbb{N}

故得 -10 \leq \frac{2\sin 5t}{\sin t} \leq 10，而當 t \to 0 時，其值收斂至 10；當 t \to \pi 其值收斂至 -10
(紅字是錯的，下界估錯了，那極限也是正的...)
--------------以下刪除----------------

原本不想用 5 倍的式子，看來失敗了

令 y=\sin t

則 \begin{aligned}\sin5t & =\sin3t\cos2t+\cos3t\sin2t\\ & =(3y-4y^{3})(1-2y^{2})+2y(4\cos^{4}y-3\cos^{2}y)\\ & =(3y-4y^{3})(1-2y^{2})+2t(4(1-y^{2})^{2}-3(1-y^{2}))\\ & =16y^{5}-20y^{3}+5y \end{aligned}

當 \sin t\neq0 ，時 \frac{\sin5}{\sin t}=16y^{4}-20y^{2}+5=16(y^{2}-\frac{5}{8})^{2}-\frac{5}{4}

而 0 < y^2 \leq 1 ，故其值域為 [-\frac{5}{2}, 10)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 10:24 PM 編輯 ]

#13  和之前做過的某題很像

第十二題 y=2sin(10x)/sin(2x)，我用GeoGebra畫圖畫出來。值域如圖。

第二題我印象中，一共有六個複數解，在複數平面上，這六個點任意兩點構成的線段長，一共有十五條。就這十五條的平方和

「由三平面相交之情，得 d_3 \neq 0 和 \vec{n_1} \times \vec{n_2} \neq \vec{0} 」

d_3 \neq 0 是否該改成 \gamma \neq 0 呢？