之前寫過，但方法不是很漂亮，參考就好了，期待樓下證得更簡潔一點
當 \( \triangle ABC \) 為鈍角三角形或直角三角形時，\(\displaystyle \cos A\cos B\cos C\leq0\leq\frac{1}{8} \) ，不等式成立。
若 \( \triangle ABC \) 為銳角三角形，則 \( \cos A , \cos B , \cos C>0 \) 。
由算幾不等式得 \(\displaystyle \cos A\cos B\cos C\leq(\frac{\cos A+\cos B+\cos C}{3})^{3} \)
而 \(\displaystyle \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\leq2\cos(90^{\circ}-\frac{C}{2})=2\sin\frac{C}{2} \) 。
故有 \(\displaystyle \cos A+\cos B+\cos C\leq2\sin\frac{C}{2}+\cos C=2\sin\frac{C}{2}+1-2\sin^{2}\frac{C}{2}=-2(\sin\frac{C}{2}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{2}\leq\frac{3}{2} \) 。
綜合以上得 \(\displaystyle \cos A\cos B\cos C\leq(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8} \)，等號成立條件為 \(\displaystyle \sin\frac{C}{2}=\frac{1}{2} \) 且 \( \angle A=\angle B \) 。
又 \( \triangle ABC \) 為銳角三角形，故此即為 \( \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ} , \triangle ABC \) 為正三角形之時，等號才會成立。
上面的方法有點小瑕疵，是針對三角形 ABC 的三內角，而非任意的 \( A+B+C =180^\circ \)
113.5.31補充
試證明在三角形\(ABC\)中，求\(cosA\cdot cosB\cdot cosC\)的最大值為\(\displaystyle \frac{1}{8}\)。
(113華江高中，
https://math.pro/db/thread-3880-1-1.html)
