考試時記錄下來的，有錯請指證

【註：weiye 於 6/3 加上中正預校公布的填充題試題與答案】

感謝分享
3.
設數列a1=1a2=3，nN都有anan+1=2，且anan+1an+2=2(an+an+1+an+2)，100n=1an= ？
[提示]
an+1an+2an+3=2(an+1+an+2+an+3)
anan+1an+2=2(an+an+1+an+2)
兩式相減得
an+1an+2(an+3−an)=2(an+3−an)
(an+1an+2−2)(an+3−an)=0
∵an+1an+2=2
∴an+3=an

數列an中，已知a1=2，an+1an，且a2n+1+a2n+4=2an+1an+4an+1+4an，則一般項an=？
(98師大附中，https://math.pro/db/thread-735-1-1.html)

7.
若g(x)=8x3−4x2−4x+3，求g(sin14)的值？
[解答]
令=14，7=2，4=2−3，sin(4)=sin(2−3)
2sin(2)cos(2)=cos(3)，
22sincos(1−2sin2)=4cos3−3cos
4sin(1−2sin2)=4cos2−3
8sin3−4sin2−4sin+3=2

計算題1.
設a1=10，1an=1a1a2a3an−1+1，n2。nN，kn=11anA 恆成立。求A的最小值？

設有一實數列an，且 a_1=1 ， a_{n+1}=1+a_1 a_2 ... a_n ( n=1,2,3,... )試求 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}= ？
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=19134

2.
求出所有正整數n使得 4^n+n^4 為質數
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840

證明題1.
投擲均勻銅板 2n 次，至少出現n次正面的機率為 \displaystyle \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2n+1} \times C_n^{2n}

擲一公正骰子200次，至少出現100次正面的機率為 a+(\frac{1}{2})^k C_{100}^{200} ，則數對 (a,k)= ？
(99彰化女中，https://math.pro/db/thread-948-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-3 12:03 AM 編輯 ]

這樣會構成 a_n+1*a_n+2=2 ?

引用:

原帖由 Herstein 於 2012-6-2 11:10 PM 發表
這樣會構成 a_n+1*a_n+2=2 ?

應該是不會，因為兩式相減之後可整理為 ( a(n+3)-a(n) ) (a(n+2)*a(n+1)-2 )=0
由題意可推知 a(n+3)-a(n)=0

了解 我剛把a(n+3)-a(n) 認定非零 把他消去了
感謝!

引用:

原帖由 basess8 於 2012-6-2 10:01 PM 發表
考試時記錄下來的，有錯請指證

這次應該不會有很多人100分了~~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-6-3 05:05 PM 編輯 ]

想請教一下第5,6,8題  

謝謝!!

填充題第 5 題：

17 \equiv -3 \pmod{10}

\Rightarrow 17^{4} \equiv (-3)^4\equiv 1 \pmod{10}

而 17^{17}=\left(16+1\right)^{17}\equiv 1\pmod{4}

所以，17^{17^{17}}\equiv 17^1\equiv 7\pmod{10}

填充第 6 題：

既然 \displaystyle <r_n> 收斂，就先來求一下極限值好了，

令 \displaystyle \lim_{n\to\infty} r_n=k ，則 \displaystyle k=\frac{5}{2}k-k\Rightarrow k=0

好吧，回到正題，來求 \displaystyle a_2

先將題目給的式子改寫成 \displaystyle r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}= 2 (r_{n-1}-\frac{1}{2} r_{n-2})

再列出如下列 \displaystyle n-2 個式子，

\displaystyle r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}= 2 (r_{n-1}-\frac{1}{2} r_{n-2})

\displaystyle r_{n-1}-\frac{1}{2} r_{n-2}= 2 (r_{n-2}-\frac{1}{2} r_{n-3})

\displaystyle r_{n-2}-\frac{1}{2} r_{n-3}= 2 (r_{n-3}-\frac{1}{2} r_{n-4})

‧‧‧‧‧‧

\displaystyle r_3-\frac{1}{2} r_2= 2 (r_2-\frac{1}{2} r_1)

case i: 若 \displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1\neq0，則 \displaystyle r_3-\frac{1}{2} r_2\neq0

　　　　\displaystyle \Rightarrow r_4-\frac{1}{2} r_4\neq0\Rightarrow \cdots\Rightarrow r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}\neq0

　　　　將上列 \displaystyle n-2 個式子相乘，可得 \displaystyle r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}= 2^{n-2}\left(r_2-\frac{1}{2} r_1\right)

　　　　\displaystyle \Rightarrow r_2-\frac{1}{2} r_1=\frac{r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}}{2^{n-2}}

　　　　（有沒有發現到，等號左邊是定數，右邊卻會隨 \displaystyle n 而改變）

　　　　因為 \displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1 是常數時，因此 \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}}{2^{n-2}}= r_2-\frac{1}{2} r_1

　　　　另一方面，因為 \displaystyle \lim_{n\to\infty} r_n= 0，所以 \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}}{2^{n-2}}=0

　　　　可得 \displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1=0，矛盾。
　　　　　（注意：是〝等於〞不是〝趨近〞）

case ii: 若 \displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1=0，則 \displaystyle r_2=\frac{1}{2} r_1=\frac{2003}{2}

填充第 8 題：設 g(x) 及 f(x) 分別為一元六次多項式且 g(x)=f(x)-a=0，當 a = 2, 4, 6, 8, 10 時，

g(x)=0的根分別為 1, 2, 3, 4, 5，求 f(10)+f(-4) 之值為_____________.




解答：

令 h(x)=f(x)-2x，則 h(x) 為六次多項式且

h(1)=f(1)-2=g(1)=0, h(2)=f(2)-4=g(2)=0, \cdots, h(5)=f(5)-10=g(5)=0

由因式定理，可知 h(x) 有因式 (x-1),(x-2),\cdots,(x-5)

且因為 h(x) 為六次多項式，可令 h(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(bx+c)

則 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(bx+c)+2x

f(10)+f(-4)=\left[9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\left(10b+c\right)+20\right]+\left[(-5)\cdot(-6)\cdot(-7)\cdot(-8)\cdot(-9)\left(-4b+c\right)-8\right]

　　　=9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot14\cdot b+12=211680b+12



怪哉，題目是否有疏漏？好像漏掉首項係數為 1 （b=1）的條件了？還是小弟哪裡眼花了嗎？