填充 9.
在直角\(\triangle ABC\)，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(\overline{AB}=c\)。沿向量\(\vec{AB}\)的方向，依序點\(M_1,M_2,\ldots,M_{n-1}\)將線段\(\overline{AB}\)分成了\(n\)等份，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}(\vec{CA}\cdot \vec{CM_1}+\vec{CM_1}\cdot \vec{CM_2}+\ldots+\vec{CM_{n-1}}\cdot \vec{CB})=\)
。
[解答]
小弟來個暴力解，應該有其它比較優的方法
坐標化 \( C(0,0),\, A(0,a),\, B(0,b) \), 向量全寫下了
內積和除以 \( n \) 列式得 \(\displaystyle \frac1n \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{n^{2}}(a^{2}+b^{2}) \)
可以認填算以下求和公式，懶得算的話，就當作 \( k^2 \) 積分跑出\(\displaystyle \frac13 \)
所以答案就是 \(\displaystyle \frac{c^2}{3} \)
已知\(\Delta ABC\)為邊長為1的正三角形，設\(\overline{BC}\)邊上有\(n-1\)個等分點，由\(B\)點到\(C\)點的順序為\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{n-1}\)，且令\(B=P_0\)，\(C=P_n\)。若\(S_n=\vec{AB}\cdot \vec{AP_1}+\vec{AP_1}\cdot \vec{AP_2}+\vec{AP_2}\cdot \vec{AP_3}+\ldots+\vec{AP_{n-1}}\cdot \vec{AC}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n}=\)。
(105全國高中聯招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2498&page=1#pid15288)
113.2.6補充
三角形\(AX_0X_{25}\)，已知\(\overline{AX_0}=3\)，\(\overline{AX_{25}}=4\)，\(\overline{X_0X_{25}}=5\)，且點\(X_1\)、\(X_2\)、…、\(X_{24}\)依序將斜邊等分成25等分，試求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{25}\vec{AX_{k-1}}\cdot \vec{AX_k}=\)
。
(104北一女中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2218&page=1#pid12958)
平面上，設\(\Delta ABC\)為等腰直角三角形，其中\(\angle C\)為直角且\(\overline{AC}=1\)，在\(\overline{AB}\)上取\(n\)等分點\(P_0=A,P_1,P_2,P_3,\ldots,P_n=B\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \vec{CP_{k-1}\cdot \vec{CP_k}}=\)
。
(112基隆女中二招，
https://math.pro/db/thread-3803-1-1.html)
114.6.24補充
設邊長為1的正\(\triangle ABC\)中，\(\overline{BC}\)上有\(n\)等分點\(P_1,P_2,\ldots,P_{n-1}\)，即\(\overline{BP_1}=\overline{P_1P_2}=\ldots=\overline{P_{n-1}C}\)，其中\(n\ge 2\)，令向量內積和\(S_n=\vec{AB}\cdot \vec{AP_1}+\vec{AP_2}\cdot \vec{AP_2}+\ldots+\vec{AP_{n-1}}\cdot \vec{AC}\)。試求\(S_n\)的值(以\(n\)表示)
。
(114南港高工，
https://math.pro/db/thread-4024-1-1.html)
