填充 7
將一列n(n2)的小方格中最左邊的黑棋向右移動，每次移動1或2格，直至最右邊的小方格為止。假設由最左移至最右有an種移動方法，每種移動方法的機會均等，「移動次數」的期望值為En，求數對(a7E7)為　　　。
●○○○○○○
[解答]
an 滿足遞迴式 an+2=an+1+an

而 En 也可以遞迴 En+2=an+1En+1+anEnan+2+1 

可改寫為 an+2En+2=an+1En+1+anEn+an+2

an=11235813, anEn=0137153058

而 En=0123375158301358

令 B  的分角線為  L, A 對 L 的對稱點為 A, AA 和 L 的交點為 H

不難發現 \triangle ABH \simeq \triangle A'BH 或是 \triangle ABA' 是等腰三角形

故 \angle ABH =\angle A'BH 因此 A' 必在射線 BC 上

找想算出通項,可是卻萛不出 (k-1)(-1)^n+(k-1)^n ,可否麻煩老師幫我看看那裏算錯了.謝謝‧

a_n+a_{n-1}=k(k-1)^{n-1}

\displaystyle \frac{a_n}{k}=-\frac{a_{n-1}}{k}+(k-1)^{n-1}

令\displaystyle b_n=\frac{a_n}{k}，則b_n=-b_{n-1}+(k-1)^{n-1}

\displaystyle b_n+\frac{1}{-k}(k-1)^n=-[b_{n-1}+\frac{1}{-k}(k-1)^{n-1}]

\displaystyle b_n+\frac{1}{-k}(k-1)^n=[b_1+\frac{1}{-k}(k-1)](-1)^{n-1} ，而 b_n=1

\displaystyle b_n=\frac{1}{k}(k-1)^n+[1+\frac{1}{-k}(k-1)](-1)^{n-1}=\frac{1}{k}(k-1)^n+\frac{1}{k}(-1)^{n-1}=\frac{1}{k}[(k-1)^n+(-1)^{n-1}]

a_n=kb_n=(k-1)^n+(-1)^{n-1}

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=499&page=1#pid658

注意 weiye 老師所回紅字，也就是 a_1 + a_2 該式並不成立

因此往回推不能推到底，如果沒有其它錯誤的話

應修正成回推至 b_2 或 a_2 也就是 n=3 , a_3+a_2 = k(k-1)^2

再算出 a_2 = k(k-1) ，以之代入

即以下

\displaystyle b_{n}-\frac{1}{k}(k-1)^{n}=\left[b_{2}-\frac{(k-1)^{2}}{k}\right]\cdot(-1)^{n-2}

\displaystyle b_{n}=\frac{1}{k}(k-1)^{n}+\left[\frac{k(k-1)}{k}-\frac{(k-1)^{2}}{k}\right](-1)^{n-2}

  a_{n}=(k-1)^{n}+(-1)^{n}\cdot(k-1)

第14題
空間中，四面體A-BCD，\overline{AB}=\overline{CD}=6，\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5，\overline{BD}=7，求四面體A-BCD的體積為　　　。
[解答]
請賜教
https://www.dropbox.com/s/2bdds01n5jolmui/%E6%96%87%E8%8F%AF14%E9%A1%8C.jpg?m

第 14 題
空間中，四面體A-BCD，\overline{AB}=\overline{CD}=6，\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5，\overline{BD}=7，求四面體A-BCD的體積為　　　。
[解答]
另解，僅供參考。

2013-04-12 16.15.36.jpg (979.34 KB)

2013-4-12 16:19

為何最後一行要除以 2  而不用 3除以3的商數1 就好了  除以2有何目的
感覺上不是如果最後一行是 7除以3=2....1  最後  a2就是2了嗎?

題目有要求 0\leq a_2<2　　（0\leq a_i<i），

所以 a_2 不可能是 3，只有可能是 0 或 1。

不過如你所說，解讀成上一行的「除以3的商數1」也可以啦。

比我的簡單多了，感謝

引用:

原帖由 YAG 於 2013-4-12 06:19 PM 發表
為何最後一行要除以 2  而不用 3除以3的商數1 就好了  除以2有何目的
感覺上不是如果最後一行是 7除以3=2....1  最後  a2就是2了嗎?

因為題目出的是真分數，所以 a_2 真的就 用倒數第二行除以3的商數1 就可以了~

如果把題目改為假分數，那除以 2 就有目的了。

例如：\displaystyle\frac{30}{7} = a_1+\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}

　　　其中 a_1\in\mathbb{N} 且 0\leq a_i<i, for i=2,3,4,5,6,7

則解答： \displaystyle\frac{30}{7}=\frac{30\times6!}{7!}=\frac{21600}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{7\times3085+5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{3085}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{6\times514+1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{514}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{5\times102+2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{102}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{4\times25+2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{25}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{3\times 8+1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=\frac{8}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle\frac{2\times4+0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

　　　　　　　　\displaystyle=4+\frac{0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}

所以 a_1=4, a_2=0, a_3=1, a_4=2, a_5=2, a_6=1, a_7=5