第 2 題：
\(\displaystyle \cot 2\theta=\frac{0-0}{1}=0\Rightarrow \theta=45^\circ\)
轉軸 \(45^\circ\) 之後，
\(xy=x+y\) 會變為 \(\displaystyle \frac{1}{2}x'^2-\frac{1}{2}y'^2=\left(\frac{\sqrt{2}x'}{2}+\frac{\sqrt{2}y'}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}x'}{2}-\frac{\sqrt{2}y'}{2}\right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\left(x'-\sqrt{2}\right)^2}{2}-\frac{y'^2}{2}=1\)
畫出圖形如下：
\(x^2+y^2=a\) 經旋轉之後，方程式仍為 \(x'^2+y'^2=a\)
所以，所求即為上述雙曲線之貫軸長的平方＝\(\left(2\sqrt{2}\right)^2=8.\)
註：如果不旋轉，可以經由 \(xy=x+y\Rightarrow (x-1)(y-1)=1\) 看出其為「
中心點在 \((1,1)\)，貫軸是 \(x=y\) 直線，通過原點」的等軸雙曲線，
再畫圖之後，求 \(x=y\) 直線與 \(xy=x+y\) 的交點，得雙曲線的兩頂點，進而得貫軸長。
