費馬點這觀念，的確是不好想，這個解題技巧真的很讚，謝謝bugmens老師貼出來的證明。有幾個疑問希望幫忙解惑。為何一個內角大於120度，所求的點不存在。最小值是發生在F跟A,B,C三點的夾角都是120度的時候，這結論怎麼證明。我算師大附中100年，計算題第三題。直接套用此三角度是120度，才可以算出結果。120度是要當結論背起來，直接套用至計算中嗎。。。

我來自問自答，在google搜索【費馬點】，我已經疑惑解除了。
http://zh.wikipedia.org/zh-hant/%E8%B2%BB%E9%A6%AC%E9%BB%9E
至於為何三角形內任一角大於120度，就找不到。。。。

不失一般性，設 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle BAC\geq 120^\circ\)，

\(E\) 為 \(\triangle ABC\) 內部異於 \(A\) 之點，

如下圖，可做 \(\triangle ABD, \triangle AEF\) 為正三角形，

qq1.png (11.24 KB)

2012-4-20 18:23

可知 \(\triangle ABE\sim \triangle ADF\)，

因此 \(\overline{EA}+\overline{EB}+\overline{EC}=\overline{DF}+\overline{FE}+\overline{EC}\)

連接 \(\overline{DE}, \overline{DC}\)

qq2.png (14.91 KB)

2012-4-20 18:23

可知 \(\overline{DF}+\overline{FE}+\overline{EC}\geq \overline{DE}+\overline{EC}\)

因為 \(\angle DAB+\angle BAC\geq 60^\circ+120^\circ=180^\circ\)

所以 \(A,E\) 皆在直線 \(CD\) 的同側，且 \(A\) 為 \(\triangle CDE\) 內部之點，

可知 \(\overline{DE}+\overline{EC}\geq\overline{DA}+\overline{AC}\)

故，

\(\triangle ABC\mbox{內部一點} E \mbox{到} A,B,C \mbox{三點頂的距離}=\overline{EA}+\overline{EB}+\overline{EC}\)

　　\(=\overline{DF}+\overline{FE}+\overline{EC}\)

　　\(\geq \overline{DE}+\overline{EC}\)

　　\(\geq\overline{DA}+\overline{AC}\)

　　\(\geq\overline{BA}+\overline{AC}\)

　　\(=E \mbox{到} A,B,C \mbox{三點頂的距離}\)

引用:

原帖由 weiye 於 2011-5-14 11:52 AM 發表
先解出 P 點坐標 \(\displaystyle (\sqrt{\frac{1}{1-a}}, \frac{a}{1-a})\)，

然後求出 \(OP\) 直線方程式為 \(\displaystyle y=\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\)，

再來算出體積為  ...

我先使用同瑋岳老師的方法，並設u=1-a,結果是一樣的，當a=-4時有極值
但改用薄殼法來求，因為次方不同，微分後求極值點卻得到a= -1，T=pi/24，同寸絲老師，
這也是我的疑問所在，比較後，反而是法一的值較小

看了一下之前的算式，應該是轉錯軸，不小心看成轉 \(y\) 軸了

所以，weiye 老師的解是對的，感謝又幫我找到一個錯誤

計算 2. 延續  weiye 老師的體積結果 \( V = \displaystyle \frac{2\pi a^{2}}{15(1-a)^{\frac52}} \)

令 \( a = -\tan^2 \theta \)，則 \( V = \frac{2\pi}{15}\sin^4\theta\cos\theta \)

由算幾不等式有 \(\displaystyle 1=\frac{\sin^{2}\theta}{4}+\frac{\sin^{2}\theta}{4}+\frac{\sin^{2}\theta}{4}+\frac{\sin^{2}\theta}{4}+\cos^{2}\theta\geq5\sqrt[5]{\frac{\sin^{8}\theta\cos^2\theta}{256}} \)，
(感謝眼尖的 wooden 挑出筆誤，已修正上行)

且當 \( \tan^{2}\theta=4 \) 時，等式成立，故 \( a=-4 \) 時有最大值 \(\displaystyle \frac{32\pi}{375\sqrt{5}} \)。

寸絲兄
根號內的cos是平方喔!

版上老師好,請問計算四的證明逆敘述要怎麼證阿

若n是質數,則(n-1)!除以n的餘數是n-1

Wilson’s Theorem

謝謝鋼琴老師指點!