以下解法其實跟 superlori 的解法原理一樣。^__^
第 3 題：設 \(\triangle ABC\) 為等邊三角形， \(D\) 為 \(\triangle ABC\) 內的點。已知 \(\overline{DA}=13\)，\(\overline{DB}=12\)，\(\overline{DC}=5\)，求 \(\triangle ABC\)的邊長為_________。
解答：
設正三角形 \(\triangle ABC\) 的邊長為 \(a\)，
將 \(\triangle DAB\)、\(\triangle DBC\)、\(\triangle DCA\) 分別以 \(A\)、\(B\)、\(C\) 為中心，
逆時針旋轉 \(60^\circ\)，可得如下圖，
此六邊形面積為原來正三角形面積的兩倍，
而且也是由六個小三角形所構成，
這六個小三角形分別是〝邊長為 5 的正三角形〞
〝邊長為 12 的正三角形〞
〝邊長為 13 的正三角形〞
以及三個〝邊長為 5,12,13 的直角三角形〞
因此，
\(\displaystyle 2\cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{4}{a^2} \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {5^2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {12^2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {13^2}+3\cdot \left( \frac{5\times 12}{2} \right)\Rightarrow a=\sqrt{169+60\sqrt{3}}\)
