最近發現網路上的計算機愈來愈厲害了 (還是我訊息落後了?)

看到是極限，就想丟給計算機算一下，順帶分享(宣傳)計算機的厲害

第 12 題. 計算機連結

cal1.PNG (23.75 KB)

2021-4-24 22:13

其結果為

cal2.PNG (31.77 KB)

2021-4-24 22:13

輸入時，有各種符號可以按或鍵盤輸入後，即時辨識轉成數學式 (支援 LaTeX code)

可以複製輸入好的式子和計算結果(白底)成 LaTeX code，下面式子都是複製出來的


limnnk=12n+klnnk+n 
Thedefiniteintegralisdefinedas:limnni=1fcix=abfxdx 

WhereΔx=nb−aandci=a+Δx⋅i
=ln22 

填充 7. 您說的是曲線繞軸轉一圈，是某個旋轉體表面，故其體積為 0。
而原題文字：設曲線 的方程式為 ...，且，R 為曲線 所圍區域。若以直線 L:x+y=1 為軸，旋轉 R ...。
轉的是 區域 R，轉出來是實心的。

話說回來，您的擔心，也是老師們在出題的時候要小心用字遣詞，不要讓學生養成超譯題意的習慣。

計2. 您的式子好像沒有用到 abc=1
是不需要？
還是其實在 a5+b5+c5a4+b4+c4 的沒有寫出來的細節之中？

計 2. 其實不用把前回的拿掉，那個小洞是可以補起來的

同 3(a8+b8+c8)−(a5+b5+c5)(a3+b3+c3)0 證明的方法，

可得 3(a5+b5+c5)−(a4+b4+c4)(a+b+c)0
a5+b5+c53a+b+c(a4+b4+c4)

再由算幾不等式 3a+b+c3abc=1  可得 a5+b5+c5(a4+b4+c4)，

故 3(a5+b5+c5)−(a4+b4+c4)(a3+b3+c3)3(a8+b8+c8)−(a5+b5+c5)(a3+b3+c3)

另外填充 7. 我眼中的圖是這樣，曲線 上的點要同時滿足兩個式子，所以僅有圖中實線部分

2021.04.26.110板橋高中7.png (11.09 KB)

2021-4-27 16:30

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:26 編輯 ]

填充 2. 數字醜、算式長...很難算對的感覺
AC 的一個方向向量 u=(12−2)
GE  的一個方向向量 v=(−341)
uv=(10510)=5(212)
平面 ABCD 的一個法向 n=(212)
平面 ABCD 的方程式 2x+y+2z=−7，
直線 GE 上，一點 I(2−20)，平面 EFGH 的方程式 2x+y+2z=2

令點 H 的坐標為 H( - 4 + 2t, - 1 + t,1 + 2t) 代入平面 EFGH 的方程式，可得 t = 1, H( - 2,0,3), H 到平面 ABCD 的距離為 3。

令點 J 為 \overline {HF} 的中點，則 J 的坐標可令作 J( - 2 + s,2s,3 - 2s) ( ∵ HJ//AC )
將 J 代入 GE 的比例式，解得s = 1。

\Delta GJH 中，\overline {GJ} = \overline {JH} ，\Delta GJH = \frac{1}{2}|\mathop {GJ}\limits^ \rightharpoonup \times \mathop {HJ}\limits^ \rightharpoonup | = \frac{1}{2} {\overline {GJ} \cdot \overline {JH} } \cdot \frac{ |\mathop u\limits^ \rightharpoonup \times \mathop v\limits^ \rightharpoonup |}{{\left| {\mathop u\limits^ \rightharpoonup } \right| \cdot \left| {\mathop v\limits^ \rightharpoonup } \right|}} = \frac{{45\sqrt {26} }}{{52}}。

長方形 EFGH 面積 = 4 \cdot \Delta GJH = \frac{{45\sqrt {26} }}{{13}}。
所求長方體體積 = \frac{{45\sqrt {26} }}{{13}} \times 3 = \frac{{135\sqrt {26} }}{{13}}。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:30 編輯 ]

填充 6. 認真討論一下各種情形
單看一色球，球數分布在兩袋的情形有 (5,5), (3,7), (1,9), (2,8), (4,6) 及兩數交換共9種情形。
(1)        三色皆各 5 個，有1種放法 {5^3} = {5^3}。
(2)        恰一色 5個，有 3 \times 8 = 24 ( 5x(10-x) = 5(10-x)x

接下就是檢查沒有其它可能，注意到如果有 (x,10-x), (10-x,x)，那第三色僅能 (5,5) 已在上方數過。再利用質因數的特性，就可以說明以下，不會發生滿足題意的乘積相等。

(3)        沒有任何顏色 5個，
某色球有 7 個的話，另一袋也必某色有 7 個，就會是 (2) 的情況。
故(3)不會有某色球分布為 (3,7) 或 (7,3)。

某色球有 9 個的話，另一袋顏色球數只能用 6 \times 6 配出 9 的倍數(不能用 9，否則就是(2)的情況)
餘下 (2,8), (4,6), (8,2), (6,4)，同樣地論證也可以得到無法搭配出乘積相等。

故所求為 1 + 24 = 25

一般都是這麼做，但其中有一些小細節，不是很確定、明白，
借此順帶提出，看看有沒有什麼好答案。
這樣的代換，會保證原本每個根的三次方，都是新的方程式的根，
但應該不保證新的方程式的 12 個根就是原 12 個根的三次方

裡面牽扯到的是重根問題，以下舉一個例子，比較容易明白我想說什麼

例如：方程式 x^2 = 4 的兩根為 x = -2, 2
若要找以此兩個根的平方為根的二次方程式，
仿造上面將等式的左右兩側平方，則得 (x^2)^2 = 16
再把 x^2 以 y 代換掉，則得方程式 y^2 = 16
我們可以看到， y = 2^2 = (-2)^2 = 4 都是新方程式的根，
但 y^2 = 16 的解為 y = 4, -4 ，其中 -4 並不是原 x 方程式根的平方。
也就是說 y^2 = 16 並不是我們要找的方程式。

重做一次代換，先將 4 移項， (x^2 -4)^2 =0 代換之後寫成 (y-4)^2 = 0
新方程式 y 的兩根為 4, 4。這組就是正確的達到我們的要求了。

以上兩個代換，還有 54# 的代換，有一些小細節上的不同，
哪個環節的不同，造就了結果的差異，如何完整的說明 #54 的結果必然正確?