填充 19. 公告答案 24，應為 48，以下為算式。
設空間中三向量 a、b、c所展開的四面體體積為 V，S=P∣OP=a+b+c  ，1， +1 ， ++1 的體積為 kV，則實數 k 的值為__________。

解. 考慮 e=, f=+, g=++
F(efg)=a+b+c=ea+(f−e)b+(g−f)c

JF(efg)=a−bb−ccT

kv=Sdxdydz=1−11−11−1a−bb−ccdedfdg=abc1−11−11−1dedfdg=6V8=48V

填充 10. 算出來，還是和答案不同，空間感不是很好，如有錯誤，還請指正

平面 H 和平面 ABC 交於 BC，其中 C(030)
平面 H 和平面 DEF 交於 EF，其中 E(32312), F(012)
平面 H 和平面 BCFE 交於 BC，其中 C(021)
平面 H 和直線 AD 交於 D(003)，

圖形如下參考

2021.04.18.110台南女中10.png (12.42 KB)

2021-4-18 20:53

所求體積 = 角錐 ABC'D' - 角錐 DE'F'D' - 角錐 CC'C''B (皆體積)

61200130003−6132003110001−6100210−1010=3−91−93=923

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-20 21:31 編輯 ]

填充 6. 根與係數關係知 an=rn+rn+1
若 rn  收斂，則 an  也會收斂。
反之，若 an  發散，則 rn  也會發散。

再檢查一下細節吧，anrn 都和等比相關，級數和應當是會收斂的

填充1. kk+1 代入相除

看到更正了，謝謝，另外第 10 題的話，我再算算。

題外話，順帶查一下公告，找到有趣公告

18-11001成績公告及申訴說明：
截取部分內文如下：
「2. 數學科筆試基本分數提高30分：因本次數學科筆試試題偏難且題數多，應考人平均分數為11.62分」

這應該是為了擊敗從老師
(註：簡章規定：數學科筆試佔總成績 30%、總成績未達75分者不予錄取。)

21. 平均值，您忘了除以 2

填充 7. 這題算是有點難的考古題吧，我的印象之中還沒有出現太多次，還是印象太久遠了。補上兩題考古題，以及一串舊的討論串

A 在方格的左下角，B 在方格的右上角，各有 9 個→與↑ ，求 A 到 B 走捷徑轉彎數之期望值。     (99高雄高中)
答案在這，有一串討論 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1441&page=5#pid12007

有 3 個「+」，4 個「-」，排成一列。若一列中一個「+-」或一個「-+」我們說：有一個「變號」。問 3 個「+」，4 個「-」排成一列，變號個數的期望值？(99彰化女中)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-21 09:26 編輯 ]

第 19 題，我換個方法順帶畫個圖
如圖 OA=−OE=a, FA=ED=2b, GA=HD=FI=EJ=2c

2021.04.25.110台南女中19ans2.png (11.87 KB)

2021-4-25 18:23

滿足1, +1, OP=a+b，點 P 所形成圖形為平行四邊形 ADEF，其中 ADEF 滿足 +=1−1，平行的四邊形內，與AD平行的線段亦滿足 + 為常數(在線段上為常數)。

又題意中，++1，因此 −(+)−1−(+)+1，故滿足題意之點 P 所形成的圖形為平行六面體 ADJI−GHEF

2021.04.25.110台南女中19ans1.png (16.3 KB)

2021-4-25 18:23

所求體積 =detADAIAG  =det−2a+2b−2b+2c−2c  =8detabc=48 

註：以上向量，皆視作 31 的矩陣

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-25 21:52 編輯 ]

計算 3. 自己重寫，沒有那樣令 x，前半部不重要，紅字的部分應該才是重點。

令 f(x)=99k=0[2kx]，則f(x)為遞增函數。
對於任意整數 n, f(x+n)=f(n)+f(x), f(n)=n(2100−1)。(修正原兩個 k 混用，表達錯誤)

設 x0 為滿足題意之實數。
f(2134)=2234−21342234，
令 x1=x0−2134，則 x1 為最小的實數滿足  f(x1)=2134。

而 f(234)=2134−2342134，
令 x2=x1−234，則 x2 為最小的實數滿足f(x2)=234，

而 f(2−66)=99k=0[2k−66]=234−1。

設 0x2−99，則 02−66+x2−65，
                        當 0k65 時，[2k(2−66+x)]=0=[2k    (2−66)]
                        當 66k98 時，[2k(2−66+x)]=2k−66+[2kx]=[2k(2−66)]
                        [299(2−66+x)]=233=[299(2−66)]ifx2−99233+1ifx=2−99 

因此有 x2=2−66+2−99 為最小實數滿足 f(x2)=234，故所求 x0=2134+234+2−66+2−99

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:41 編輯 ]

計 3. 55# f(k) 我的記號混用了，sorry，沒注意到原本的 Sigma 也是用 k，兩個 k 要用不同的記號表示才可以。
對於任意整數 n, f(x+n)=f(n)+f(x), f(n)=n(2100−1)。

填充 7. 原 10# 處，代換間的 Jacobian Matrix 實際上固定的，也就是說它實際上是個線性變換
(其實應該在算 Jacobian Matrix 之前，就知道了)
所以我們也會用線性變換來處理的方法：

令集合 S0=()T1+1++1, S1=(uvw)Tu1v1w1
以下將 R3 及 R3 中向量皆記為 31 階的矩陣。VS0VS1VS 分別表示 S0S1S 的體積。

T1:S0R3()Ta+b+c

以上關係可表示為 a+b+c=abc ，

因此線性變換 T1 將 S0 映射至 S，故有 VS=det(abc)VS0=6VVS0。

T2:S0R3()T(+++)T

以上關係可表示為 +++=111011001，

因此線性變換 T2 將 S0 映射至 S1，故有 VS1=det(111011001)VS0=VS0。
而 VS1=23=8，故 VS=6V8=48V。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:41 編輯 ]