17 題的出處應該是 TRML 2001 個人賽
數字跟著年改了而已

看出規律，或依某種順序的運算當然都可以找出答案。

之前也寫過這題，個人比較雞婆一點，喜歡把它說清楚：

定義運算 ab=ab+a+b=(a+1)(b+1)−1 。

易驗該運算滿足交換律及結合律。

而我們的 2010 次操作，實際上就是將這 2011 個數以此運算及括號串在一起。

上面說的那句話，用數學歸納一寫，馬上就得證了。

再把所有括號那掉，那順序排，乘出來就是答案了。

其實，要模仿因式分解，也是可以。

如 weiye 老師所寫 pn−qn 亦具有遞迴關係。但不妨向後遞迴，要把 17 次方 看作 18 次方減 16 次方，即

p17−q17=(p18−q18)−(p16−q16)

然後 18 次方處理 p18−q18=(p6−q6)(p12+p6q6+q12)

而 p6−q6=(p2−q2)(p4+p2q2+q2)

可以先算 p2−q2 (可分解)，再平方補交叉項(常數) 可得 (p4+p2q2+q2)

之後就有 p6−q6，同樣手洲可得 (p12+p6q6+q12)

以上，只是用其實只是用平方和乘法讓次數跳快一點，減少遞迴次數。

不過這依賴於因式分解的樣子，所以也許不是很實用？或者能否一般化呢？

而16 次方的處理， thepiano 老師，已經做得很漂亮了。

關於填充12

當首項一樣的時候，公比愈大，可以放的項數就愈少，

所以一樣分母是 q 的之中(可以有一樣的首項)，就要取  p=q+1

這樣項數才可以盡可能的多

21 題，你的範圍？？

如果 x 在 a 附近，[3x+1] 的值可能只有一個或二個(當 3a+1 為整數)

而 a 的附近 2x−21 單調遞增，因此也頂多 2 個使得等號成立

所以你的範圍，應該是漏驗了等式了

13. 先當作這個類似問題 x+y+z=50 的非負整數解，兩個問題的解其實很接近，所以扣掉不一樣的解就可以了

如果覺得不夠簡潔，那就另找個更接近的目題，而且會解，一樣扣除不一樣的。