填充 19. 公告答案 24，應為 48，以下為算式。
設空間中三向量 a、b、c所展開的四面體體積為 V，S=P∣OP=a+b+c  ，1， +1 ， ++1 的體積為 kV，則實數 k 的值為__________。

解. 考慮 e=, f=+, g=++
F(efg)=a+b+c=ea+(f−e)b+(g−f)c

JF(efg)=a−bb−ccT

kv=Sdxdydz=1−11−11−1a−bb−ccdedfdg=abc1−11−11−1dedfdg=6V8=48V

填充 10. 算出來，還是和答案不同，空間感不是很好，如有錯誤，還請指正

平面 H 和平面 ABC 交於 BC，其中 C(030)
平面 H 和平面 DEF 交於 EF，其中 E(32312), F(012)
平面 H 和平面 BCFE 交於 BC，其中 C(021)
平面 H 和直線 AD 交於 D(003)，

圖形如下參考

2021.04.18.110台南女中10.png (12.42 KB)

2021-4-18 20:53

所求體積 = 角錐 ABC'D' - 角錐 DE'F'D' - 角錐 CC'C''B (皆體積)

61200130003−6132003110001−6100210−1010=3−91−93=923

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-20 21:31 編輯 ]

填充 6. 根與係數關係知 an=rn+rn+1
若 rn  收斂，則 an  也會收斂。
反之，若 an  發散，則 rn  也會發散。

再檢查一下細節吧，anrn 都和等比相關，級數和應當是會收斂的

填充1. kk+1 代入相除

看到更正了，謝謝，另外第 10 題的話，我再算算。

題外話，順帶查一下公告，找到有趣公告

18-11001成績公告及申訴說明：
截取部分內文如下：
「2. 數學科筆試基本分數提高30分：因本次數學科筆試試題偏難且題數多，應考人平均分數為11.62分」

這應該是為了擊敗從老師
(註：簡章規定：數學科筆試佔總成績 30%、總成績未達75分者不予錄取。)

21. 平均值，您忘了除以 2

填充 7. 這題算是有點難的考古題吧，我的印象之中還沒有出現太多次，還是印象太久遠了。補上兩題考古題，以及一串舊的討論串

A 在方格的左下角，B 在方格的右上角，各有 9 個→與↑ ，求 A 到 B 走捷徑轉彎數之期望值。     (99高雄高中)
答案在這，有一串討論 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1441&page=5#pid12007

有 3 個「+」，4 個「-」，排成一列。若一列中一個「+-」或一個「-+」我們說：有一個「變號」。問 3 個「+」，4 個「-」排成一列，變號個數的期望值？(99彰化女中)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-21 09:26 編輯 ]

第 19 題，我換個方法順帶畫個圖
如圖 OA=−OE=a, FA=ED=2b, GA=HD=FI=EJ=2c

2021.04.25.110台南女中19ans2.png (11.87 KB)

2021-4-25 18:23

滿足1, +1, OP=a+b，點 P 所形成圖形為平行四邊形 ADEF，其中 ADEF 滿足 +=1−1，平行的四邊形內，與AD平行的線段亦滿足 + 為常數(在線段上為常數)。

又題意中，++1，因此 −(+)−1−(+)+1，故滿足題意之點 P 所形成的圖形為平行六面體 ADJI−GHEF

2021.04.25.110台南女中19ans1.png (16.3 KB)

2021-4-25 18:23

所求體積 =detADAIAG  =det−2a+2b−2b+2c−2c  = 8|\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop a\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)| = 48

註：以上向量，皆視作 3 \times 1 的矩陣

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-25 21:52 編輯 ]

計算 3. 自己重寫，沒有那樣令 x ，前半部不重要，紅字的部分應該才是重點。

令 f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{99} {[{2^k}x]} ，則f(x)為遞增函數。
對於任意整數 n, f(x + n) = f(n) + f(x), f(n) = n \cdot ({2^{100}} - 1) 。(修正原兩個 k 混用，表達錯誤)

設 {x_0} 為滿足題意之實數。
f({2^{134}}) = {2^{234}} - {2^{134}} < {2^{234}}，
令 {x_1} = {x_0} - {2^{134}}，則 {x_1} 為最小的實數滿足  f({x_1}) = {2^{134}}。

而 f({2^{34}}) = {2^{134}} - {2^{34}} < {2^{134}}，
令 {x_2} = {x_1} - {2^{34}}，則 {x_2} 為最小的實數滿足f({x_2}) = {2^{34}}，

而 f({2^{ - 66}}) = \sum\limits_{k = 0}^{99} {[{2^{k - 66}}] = {2^{34}} - 1} 。

設 0 < x \le {2^{ - 99}}，則 0 < {2^{ - 66}} + x < {2^{ - 65}}，
                        當 0 \le k \le 65 時，[{2^k} \cdot ({2^{ - 66}} + x)] = 0 = [{2^k}         \cdot ({2^{ - 66}})]
                        當 66 \le k \le 98 時，[{2^k} \cdot ({2^{ - 66}} + x)] = {2^{k - 66}} + [{2^k}x] = [{2^k} \cdot ({2^{ - 66}})]
                        [{2^{99}}({2^{ - 66}} + x)] = \left\{ \begin{array}{l}{2^{33}} = [{2^{99}} \cdot ({2^{ - 66}})]{\rm{, if }}x < {2^{ - 99}}\\{2^{33}} + 1{\rm{, if }}x = {2^{ - 99}}\end{array} \right.

因此有 {x_2} = {2^{ - 66}} + {2^{ - 99}} 為最小實數滿足 f({x_2}) = {2^{34}}，故所求 {x_0} = {2^{134}} + {2^{34}} + {2^{ - 66}} + {2^{ - 99}}

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:41 編輯 ]

計 3. 55# f(k) 我的記號混用了，sorry，沒注意到原本的 Sigma 也是用 k，兩個 k 要用不同的記號表示才可以。
對於任意整數 n, f(x + n) = f(n) + f(x), f(n) = n \cdot ({2^{100}} - 1) 。

填充 7. 原 10# 處，代換間的 Jacobian Matrix 實際上固定的，也就是說它實際上是個線性變換
(其實應該在算 Jacobian Matrix 之前，就知道了)
所以我們也會用線性變換來處理的方法：

令集合 {S_0} = \{ (\alpha ,\beta ,\gamma )^T \mid |\alpha | \le 1,|\alpha + \beta | \le 1,|\alpha + \beta + \gamma | \le 1\} , {S_1} = \{ (u,v,w)^T \mid |u| \le 1,|v| \le 1,|w| \le 1\}
以下將 {\mathbb{R}^3} 及 {\mathbb{R}^3} 中向量皆記為 3 \times 1 階的矩陣。V_{S_0},V_{S_1}, V_S 分別表示 {S_0},{S_1},S 的體積。

\begin{array}{*{20}{l}}{{T_1}:}&{{S_0} \to {\mathbb{R}^3},}\\{}&{(\alpha ,\beta ,\gamma )^T \mapsto {{ {\alpha \mathop a\limits^ \rightharpoonup + \beta \mathop b\limits^ \rightharpoonup + \gamma \mathop c\limits^ \rightharpoonup } }}.}\end{array}

以上關係可表示為 { {\alpha \mathop a\limits^ \rightharpoonup + \beta \mathop b\limits^ \rightharpoonup + \gamma \mathop c\limits^ \rightharpoonup } } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop a\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \\\gamma \end{array}} \right) ，

因此線性變換 {T_1} 將 {S_0} 映射至 S，故有 {V_S} = |\det (\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop a\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array})|{V_{{S_0}}} = 6V \cdot {V_{{S_0}}} 。

\begin{array}{*{20}{l}}{{T_2}:}&{{S_0} \to {\mathbb{R}^3},}\\{}&{(\alpha ,\beta ,\gamma )^T \mapsto (\alpha ,\alpha + \beta ,\alpha + \beta + \gamma )^T.}\end{array}

以上關係可表示為 \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\{\alpha + \beta }\\{\alpha + \beta + \gamma }\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \\\gamma \end{array}} \right) ，

因此線性變換 {T_2} 將 {S_0} 映射至 {S_1}，故有 {V_{{S_1}}} = |\det (\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}} \right))|{V_{{S_0}}} = {V_{{S_0}}} 。
而 {V_{{S_1}}} = {2^3} = 8，故 {V_S} = 6V \cdot 8 = 48V 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:41 編輯 ]