19.
設\(d>0\)，\(d\in \mathbb{R}\)，若動點\(P\)至二定點\(A(-d,0),B(d,0)\)的距離和為定值\(4d\)，若\(\overline{AP}^3+\overline{BP}^3\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則數對\((M,m)=\)　　　。(以\(d\)表示)
[提示]
\( \overline{AP}=x \), \(  \overline{BP}= d-x \) 微分可得最大最小值

另外，亦可由廣義柯西著手最小值

21. 提示極式，旋轉伸縮

20. 是在下眼花，還是題目出錯。應該要問向量內積的最小值才是，忘了在哪份題目做過了

21. 大器一點，不要只看一個點，整個方形一起轉一起伸縮

20. 感謝老王老師，去看 100 陽明那題吧

19.
設\(d>0\)，\(d\in \mathbb{R}\)，若動點\(P\)至二定點\(A(-d,0),B(d,0)\)的距離和為定值\(4d\)，若\(\overline{AP}^3+\overline{BP}^3\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則數對\((M,m)=\)　　　。(以\(d\)表示)
[解答]
\( \overline{AP}=x,\, \overline{BP}=y \)

\( (x^3+y^3)(1^3+1^3)(1^3+1^3)\geq(x+y)^3 \)

21. 正方形轉 \( 45^\circ \) 放大 \( \frac{3\sqrt{2}}{4} \) 新的四頂點是 \(\displaystyle (\pm\frac32,0),\, (0,\pm\frac32) \)
(紅字筆誤，已更正，感謝王保丹指正)

跑出去的是四塊三角形其面積和為 \( 1 \) ，放大過的正方形面積 \( \frac92 \)

所求 \( =\displaystyle \frac{\frac92-1}{\frac92} =\frac79\)

這樣的情況，我習慣叫它井水犯河水。以這題來說井水可算，河水亦可算，但不能混在一起

扣掉四個角落 那個區域是屬於旋轉後的世界，把它和旋轉前的世界，相除，就好比 1cm / 1kg 或者 1cm + 1kg

而我在 # 23 樓的作法，就是只看旋轉後的世界，因為已經知道哪些點跑出去，哪些點在裡面了

如果要看旋轉前的世界，當然也不是不可以，只是要很小心的重新計算一下，是哪一塊才是裡面的

所以會得到不同的四個角落，你的盲點應該就在於誤把新的角落當成舊的角落，井水混河水

19 題，長軸算錯了，長軸長是 \( 2a = 4d \)

最小值的確是發生在短軸上， \( (2d)^3 + (2d)^3 =16d^3 \)

最大值的確是發生在長軸上， \( (d)^3 + (3d)^3 =28d^3 \)

13 題，它畫的比較像透視圖，不管圖形本來就僅供參考而已

21 題...不曉得您的算式是什麼意思

從 \(\displaystyle \frac{3}{4} (1+i)(x+yi)\in S \) 得到\(\displaystyle -\frac{4}{3}\leq x\leq \frac{4}{3} \) ,  \(\displaystyle -\frac{4}{3}\leq y \leq \frac{4}{3} \)

但本身x,y 介在正負1之間所以 4/3*4/3-1*1=7/9

紅字的部分，都有待探究，

"得到"，應是單向薀涵的意思，但在此我們需要的是雙向的等價條件

\(\displaystyle (x,y) = (\frac{4}{3}, \frac{4}{3} )\) 代入 \( \frac{3}{4} (1+i)(x+yi) \) 會得到 \( 2i \notin S\)

", "  是指 (x,y)  為一個方塊，還是指各別的範圍各是此二區間

18 題
如右圖，\(\triangle ABC\)為邊長是1的正三角形，\(P\)為內部一點，過\(P\)作\(\overline{DE}//\overline{BC}\)，\(\overline{FG}// \overline{AB}\)，\(\overline{HI}// \overline{AC}\)，則\(\triangle PDH\)、\(\triangle PFI\)、\(\triangle PEG\)面積和之最小值為　　　。
[提示]
提示三個皆為正三角，且其邊長之和為 1

填充 24.
如右圖，\(H\)為\(\triangle ABC\)之垂心，\(\overline{BC}=a,\overline{AC}=b,\overline{AB}=c\)，若面積比\(\triangle ABH:\triangle BCH:\triangle ACH=1:2:3\)，則邊長比\(a:b:c=\)　　　。
[解答]
另解

沿長 \( \overline{AH} \) 交 \( \overline{BC} \) 於 \( D \) 點，由面積關係可推得線段長關係，可依內分點公式有

\(\displaystyle \overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\cdot(\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC} \)。

由正射影和內積的關係有 \( \overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AB} \)，

故得\( \begin{cases}\displaystyle
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\frac{1}{6}b^{2} & =\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\
\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} & =\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
\end{cases} \Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}b^{2}=\frac{3}{5}c^{2},  b:c=3:\sqrt{5} \)。

令 \( (a,b,c)=(kt,3t,\sqrt{5}t) \)，代入 \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}b^{2} \) 可得 \( k=2\sqrt{2} \)。故 \( a:b:c=2\sqrt{2}:3:\sqrt{5} \)。

是，的確是 \( 45^\circ \)，之前沒發現這個筆誤，感謝您！
看來，大家心中會自動把錯誤修正成正確的！

23 題
某立體之底面為由\(x=y^2\)及\(x=3-2y^2\)二拋物線所圍成的區域，且對於垂直於\(X\)軸所有橫截面均為正方形，則此立體之體積為　　　。
[提示]
題意說，對於垂直 x 軸的所有橫截面都是正方形

所以自然是要將這些橫截面的面積對 x 積分，故體積為\(\displaystyle \int_a^b A(x) dx \)

其中 \( a, b, A(x) \) 與所給的二拋物線有關。

114.7.9補充解題動畫