關於第 8 題，先前寫此題也碰到此麻煩，

如 mandy 所說 首項為正的二次式恆"非負"的條件為判別式"非正"

而此題搞鬼的地方在於 f(x)  在二次式的解處可能沒有定義。

以下我們來研究一下判別式非負和值域的關係

原本分子分母都是二次(以下)式，但透過平移 g(x)=f(x)−c 可將分子改成一次以下，但如果分子是常數，就沒有什麼好看的，所以

設 f(x)=x+ax2+bx+cDy=(by−)2−4ay(cy−) , 且 a=0，則有

(a) yf(R)Dy0.

證  若 y=0 且  yf(R)，則 (ax2+bx+c)y=x+  有實數解，因此 Dy0 。

若 y=0, Dy=200。因此 yf(R)Dy0 。

(b) y=0Dy0yf(R)

證 若 Dy0y=0，則 (ax2+bx+c)y=x+  有兩相異實根。若 ax2+bx+c=0，則 x+=0。

而 ax2+bx+c=0 和 x+  至多一共根，

因此當 Dy0  時，必存在 x 使得 (ax2+bx+c)y=x+ 且 ax2+bx+c=0f(x)=y 。

(c) deggcd(ax2+bx+cx+)=0f(R)=yRDy0 

證 由 (1) (2) 知，我們只須檢驗 Dy=0、y=0 ，在兩集合的差異 ( Dy0 且 y=0 同時屬於兩集合)。

假設左式成立，則 ax2+bx+c=0 和 x+=0  無共根。

同 (b) 論述可得 y=0 且 Dy0 則 y\in f(\mathbb{R}) 。

易驗 D_{0}=\alpha^{2}\geq0 且 f(-\frac{\beta}{\alpha})=0 ，因此 f(\mathbb{R})=\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} 。

假設左式不成立，則 ax^{2}+bx+c=0  和 \alpha x+\beta=0   有共同根 -\frac{\beta}{\alpha} 。

若 D_{y}=0, 且 f(x)=y ，注意方程式 (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta 之解必為 x=-\frac{\beta}{\alpha}   (重根)，

因此 x=-\frac{\beta}{\alpha} ，但 f   在 x=-\frac{\beta}{\alpha}   無定義，故不存在 x ，使得 f(x)=y ，

同理 y =0 時，亦不存在 x 使得 f(x)=0

因此 f(\mathbb{R})\neq\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} 。


---------------------------------我是分割線-------2013.09.02 修改下方之式子，之前有小瑕疵

回到原題， a=1 顯然不合。而 a \neq 1 ，計算判別式可得 -2 \leq a \leq 0

檢查分子是否與分母互質即 a^2+2a 是否為 0 (因式定理)

故其解為 -2<a<0

[ 本帖最後由 tsusy 於 2016-1-2 10:17 PM 編輯 ]

請教第15 題，很久以前不會，現在還是不會，其中有何玄機？

感謝

太神了！原來正整數的條件要這樣用...我的思路完全在另一條平行線...

漂亮到簡直犯規！

(前文刪帖???)
填7. 設 t =\frac{\overline{CD}}{\overline{DB}} ， \vec{BQ} = \alpha \vec{BC} + \beta \vec{BA}

由 CEA 共線，知 \alpha = \beta t ...①

而 \vec{BC} = (1+t) \vec{BD} ，又 DQA 共線，而得 (1+t)\alpha + \beta =1 ...②

①②聯立，解得 \alpha = \frac{t}{1+t+t^2}, \beta = \frac{1}{1+t+t^2}

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-10-23 09:33 PM 編輯 ]