112台中一中

填充 9.
[x]定義為小於或等於x的最大整數，則31+32+322+323++322023 的個位數字為　　　。
[解答]
注意到 nN0 時，

22n1  (mod 3), 22n+12 (mod 3)

故有 31+32+322+322023=31+2+22+  +22023−1012−10122=322024−3037 

令   A=322024−3037

則 3A=22024−303724−30376−30379 (mod 10)
( 2n 模 10，每四項一個循環)

A21A=73A79=633 (mod 10)

故所求個位數字即為 3 (A 除以 10 所得之餘數，即其個位數)。