填充1.
設函數f(x)，已知f(2x)0共有11個整數解，f(2x+5)0共有16個整數解，則f(x)0的整數解個數為　　　個。
[解答]
由題可知，偶數解有11個，奇數解有16個，故整數解共有27個

填充11.
設函數f(x)滿足：
(1)對於0x1x21，有f(x1)f(x2)
(2)f(0)=0
(3)f(x3)=2f(x)
(4)f(1−x)=1−f(x)
則f(1092020)=　　　。
[解答]
由題意中的條件可知

f(1)=f(1−0)=1−f(0)=1

f(31)=21f(1)=21

f(21)=f(1−21)=1−f(21)f(21)=21

再由遞增得”若 31x21，則 f(x)=21"

f(1092020)=21f(3272020)=41f(9812020)=4121=81


類題 105北一區(花蓮高中)學科能力競賽
(出處 7/23 補充，今天再看，突然想起來了，這好像是  Cantor function。Google 一下，果然真的是啊！)

已知函數 f(x) 滿足下列性質

(a) 若 x1x2，則 f(x1)f(x2)

(b) f(1−x)=1−f(x)

(c) f(5x)=2f(x),

則 (1) 求 f(0), f(1), f(51), f(54) 的值。

(2) 求 f(x)=21 的解集合。

(3) 求 f(1115) 及 f(12016) 的值。

其中最有意思的應該是第(2) 解集合，從(1)的結果，不難猜到是 [5154]
但有意思的就是再多一點點或少一點點函數值就不是這樣了的論證

[ 本帖最後由 tsusy 於 2020-7-23 10:20 編輯 ]

105 北一區(花蓮)
其本上就是 Cantor set, Cantor function

首先，易知對任意 nNf(15n)=12n

可得 f(1−15n)=1−f(15n)=1−12n

因此 f(\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{n+1}})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}

對任意 t 滿足 0\leq t<\frac{1}{2} ，存在正整數 n 使得 t<\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5^{n}}

又 f(x) 為遞增函數，因此 f(t)\leq f(\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{n+1}})<\frac{1}{2} 。

再由 f(1-x)=1-f(x) ，可得對任意 t 滿足 \frac{4}{5}<t\leq1, f(t)>\frac{1}{2}