填充 10.(前提假設斜面和底面夾 45 ) 暴力積分 010x21−x2dzdx=201x1−x2dx=2(1−x2)2332(−21)10=32 

半徑 6，故所求 =6332=144 (好像也算錯了？)

如果是 #9 superlori 所言的 30，那就沒錯了 144tan30=483 

計算1.1 另證：

由 O 對直線 BC 作垂線 OHA 垂直 BC 於 HA

OHABC面, OHABC 由三垂線定理得 HHABC

AOOBC面, OHABC 由三垂線定理得 AHABC

故 AHHA 三點共線，都在平面 OBC 上的過 H_A 垂直 BC 的直線上

因此高 AHA 通過 H，同理另兩高亦過 H，三高交於 H，H即為垂心

第2小題 61abc=2a2b2+b2c2+c2a23h ，其中 21a2b2+b2c2+c2a2  為 ABC 的面積
(感謝 #73 mandy 指正 ABC 的面積)

整理即得 1h2=1a2+1b2+1c2

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-7-19 09:07 AM 編輯 ]

計算 6. 用 ggb 畫圖，四點共圓，需要條件是 CEDE=BCCF

計算 5. 有點看不太懂題目，沒有說明的對應關係應該是指這樣吧？

4 樓 4 扇 A  B  C  D
3 樓 3 扇   E  F  G
2 樓 2 扇     H  I

倒三角的對應關係，AB→E, BC→F, CD→FG, EF→H, FG→I

計算 5. 如原題意，如先前之猜測

我們以 0 表是打開， 1 表示關閉，則上下樓層的開關對應關係即模 2 的加法運算

例：開  開  關  開     0  0  1  0
          開   關  關         0  1  1

以 ai0 或 1 (mod 2), i=01231023 表示 210 層的窗戶開關態，
依題意其中有 29+1 個 ai 為  0； 29−1 個 ai=1

觀察此倒三角形加法關係 ai 的係數，不難發現是二項式係數

故 1 樓的狀態為 1023i=0Ci1023ai 

接著我們需要一個小性質 Ci10231 (mod 2)，這件事可以 Lucas 定理得到

Lucas 定理：若 p 為質數，m=a0+a1p+a2p2+, n=b0+b1p+b2p2+ 為兩非負整數滿足 0 \leq n \leq m 且 0\leq a_i, b_i < p 則 C^m_n \equiv \displaystyle \prod C^{a_i}_{b_i} (mod p )
(即 a_i, b_i 為 n, m 的 p 進位表示式的各個位數)

所以 1 樓的狀態為 \displaystyle \sum_{i=0}^{1023} C^{1023}_{i} a_i \equiv 2^9 -1 \equiv 1 (mod 2)，即該窗戶關閉

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-1 09:05 AM 編輯 ]

身為去年過來人，我也來說說：

對不認識的老師來說，這樣的假考，他們可能無從得知。

但總有認識的老師正在努力通過教甄，這樣的假考，他們做何感想？或許一兩次無感？或許沒有說出口？

但這樣的行為，大概很難說自己問心無愧吧？

然後去年我去考了，對自己說我是去記題目的，順帶測測自己的水平有沒有下降。

但還是希望盡量不要影響到認真考試的老師們，

於是思量後挑一間，題目難、報名人數少 1 / 77、通過初試 6(實際) / 8(簡章)、說不定複試會從缺。

結果來看是既背了題目，又沒佔到真正的位子。當然事情可一不可再，再考下去的話，大概認識的會想揍我吧！

另外也可以效法老王老師，寫一個小時交卷，或是把剩下的時間拿來背題、抄題。

計算 6(1)

硬是寫一個爛證明，畫圖觀察，先想像 \angle DGC = 120^\circ ，如果要用相似三角形證明此，會是哪個三角形與其相似呢？找到之後，再來湊相似條件

2014.06.03.103武陵高中.png (20.49 KB)

2014-6-4 00:00

不妨假設 \overline{DE}=1, \overline{EC}=r , 則 \overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DA}=1+r 。

由三角形 \triangle ADE\sim\triangle FCE ，可得 \overline{CF}=(1+r)r

\triangle FDC 中，由餘弦定理可得 \overline{DF}=\sqrt{(1+r)^{2}+(1+r)^{2}r^{2}+r(1+r)^{2}}=(1+r)\sqrt{1+r+r^{2}} 。

\triangle FDC 被直線 \overrightarrow{BE} 所截，由孟氏定理有 \displaystyle \frac{\overline{FG}} {\overline{GD}}\cdot\frac{\overline{DE}}{\overline{EC}}\cdot\frac{\overline{CB}}{\overline{BF}}=1   \Rightarrow\frac{\overline{FG}}{\overline{GD}}=r(r+1)\Rightarrow\overline{DG}=\frac{1}{r^{2}+r+1}\overline{DF}=\frac{1+r}{\sqrt{r^{2}+r+1}}

\displaystyle \frac{\overline{DG}}{\overline{DC}}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}+r+1}}, \frac{\overline{DC}}{\overline{DF}}=\frac{1}{\sqrt{1+r+r^{2}}} ，又 \triangle CDG 和 \triangle FDC 共用 \angle D ，故兩三角形相似(SAS)

因此 \angle DGC=\angle DCF=120^{\circ} ，故 \angle DGC 與 \angle DBC 互補，因此四點共圓。

要是真的這樣做的話，考試根本做不出來吧。至於有沒有好方法，就請其它高手出手吧！

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-4 12:00 AM 編輯 ]

計算6(2)，補一下過程，由 (1) 得 BDGC 四點共圓，得 \angle BDG + \angle GCB = 180^\circ ，故鋼琴兄 #39 的圖中將 \triangle BDG 以 B 為中心，逆時針旋轉 60^\circ 得 \triangle BD'G' ，其中 D' 和 C 重合。

由   \angle BDG + \angle GCB = 180^\circ 得 \angle BD'G' + \angle GCB = 180^\circ ，故 GCG' 三點共線

四邊形 BDGC 面積 = 三角形 BDG 面積 + 三角形 BGC 面積
                               = 三角形 BD'G' 面積 + 三角形 BGC 面積
                               = 三角形 BGG' 面積 (邊長為 a 的正三角形)

你寫的才對，是我先前寫錯了，

至於 \triangle ABC 的面積，可用畢氏定理的推廣得到，推廣可見於  畢氏定理的兩個推廣-蔡聰明 第一頁下方處

而得 \triangle ABC = \frac12 \sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}

一般來說，可能不特別定義 C^n_m 當 n <m

在這裡是，規定 n < m 時是將記號 C^n_m 當作 0, C^0_0 當作 1

這樣在定理記號上的陳述會方便些。

如果要一個解釋的話，可以看作 (1+x)^0 = 1 + 0x  (C^0_0x^0+C^0_1x^1) ，也就是說這樣定法跟二項式係數有某種一致性

另外，"個人"覺得 Locas 定理在考教甄裡，算是不太重要的定理，不太用得到

最原先，這題中，我的作法也不是用 Locas 定理，只是覺得證得有點麻煩，懶得打字，所以才用 Lucas 定理一句話帶過

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-8-26 09:33 PM 編輯 ]