關於計算1. 用中央極限的方法來說

個人覺得那樣做，僅有說明之效，而無證明之效

原因是，中央極限定理的陳述是談極限之情況，也就是 converge in distribution

而現在用無限近似有限，問題發生，有多近似？

當然，這點瑕疪，是可以用大學(或研究所)機率課的內容去補起來，但未免麻煩

98 高雄市聯招 https://math.pro/db/thread-797-1-1.html

的證明 1，其實也類似於本題。

本題只要寫開，就會變成高雄市那題的樣子

C5010012100=100!(246100)2=13599246100

令 a= 上式

則   a21222−13242−19921002−1=11011100

開方，得證。

但是這個手法，北一女那題就不能玩了。

一直沒注意到題目公佈了

之前填充 11  一直算不出公佈的答案 580，而算出  579

不知道是否是答案錯誤，嘗試分析如下。

考慮 5m+12n=580 之正整數解，

m	8	20	32	44
n	45	40	35	30

  當然後面還有，但後面的光偶數和就超過 2012 了剩下的，來檢驗一下
(mn)=(845) 這組，45 個最小正奇數的和為 21+8945=2025 超過 2012

(mn)=(2040), 最小的奇偶數和為 2021+402=2020

(mn)=(3235), 最小的奇偶數和為 3233+352=2281

而 (mn)=(4430) 這組，44 個最小正偶數的和為 22+8844=4445=1980 再加上 30 個最小正奇數和 900


所以 580 這個數字，根本沒在值域裡，更何況最大值乎？！

而 579，可以找到 (mn)=(1542) 此時，最小奇偶數和為 1516+422=2004

再將其中一個奇數或偶數，換成大一點的，如把 30 換成  38，這樣和就剛好 2012 了

以上，如有錯誤，麻煩指正，謝謝

第十六題的作法好像有點問題

圖形並不只有三交點。注意 6sin2x 在 0 處和 23 的微分

就會知道還有兩個交點，至於圖的真相，還是交 Wolfram Alpha

接近 0 的地方 http://tinyurl.com/7cutks8

接近 23 的地方 http://tinyurl.com/8yfb9n3

這題要用的其實是對稱性，在 x=023 的範圍裡

兩個函數圖形的對稱中心，都是 (433)，所以某一段在左邊如果是下，轉 180 度去右邊，上下關係就會反過來

故所求長度即該範圍中直線長度之半： 211723=4317 

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-9 08:45 PM 編輯 ]

彬爸 12 題的作法真的令人覺得神妙的詭異

而我本來的作法也和瑋岳老師走一樣的路線

不過仔細一做，會發現這題和 101 臺南二中第三題一樣 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262

只是條件換掉了而已，一個給係數，一個給相乘等於 0，而實際上是一回事

再來補個對角化的作法：計算 A 的特徵值可得 34

因此 A 對角化後是 A=3004 

所以可以解出 P=1000 , Q=0001 

而 A7=370047=37P+47Q 

所以 a=37b=47

不過這類問題，瑋岳老師的方法應該才是比較一般性的做法

只是好像，在高中裡，有些問題故意特殊化，讓它變得稍微簡單，而往往有特殊的做法

印象中，之前也做過一題拋物線，做出來，也發現剛好是焦弦，不過也是巧合

反例，也很簡單，就把那個點沿著焦弦往曲線靠近就好了...焦弦長度不會變，

但那個點離曲線很近時，就有一條很短的弦了

高中裡的數學競賽題目，有時候會就是很喜歡考一些很巧的特殊例子，然後就會有很漂亮的作法

又像 12 題矩陣，又是一個大巧合，一般性的作法是 # 12 瑋岳老師的做法

但在 # 23，中用比較高的數學層次(特值徵)的眼光去看它，就會發現 PQ 在坐標轉換的結果下

根本就是兩個無聊到漂亮的矩陣，所以對於 # 19 彬爸神一般的作法，就稍微有點不意外了

庵大出現了，感謝告知。看來是有人向學校反應，感謝代為反應的人

其實，之前有想寫信過去，不過一來那場考試沒去考，

二來信裡寫數學符號有點麻煩，所以就放棄了

不過其實應該也不是我先發現了

早在 4/23 題目尚未公佈時，有人就曾和小弟討論此題

那時結論是，兩個人都算 579, 對方就覺得答案錯了

不過因為題目尚未公佈，手邊沒有題目，也就沒有深入探討了，不了了之了

精確作圖~~~微分

其實小弟做的時候也沒有精確作圖，只是先畫略圖，和彬爸一樣先看出那三個交點

然後就在想，在 (00) 右邊一點點的地方，那個彎的那條，是在直線上，還是直線下

然後就算了微分，發現微分是 0 所以在下方，之後彎上到 x=2 最高點間，又多一個交點

接下來往下，下個交點是 x=43，之後的討論相同，得到 5 個交點。

不過畫完圖後，還是沒看出竅門。然後再看一下等式，覺得交點解不出來，代數沒希望

再看一次圖，才發現的。以上好像沒有說到什麼重點。

如果真的想精確作圖，那就微分吧...看凹向，再加幾個點

不然像彬爸一樣用 2 倍角，換成 cos 處理，應該也可以描幾個點加上本來知道 cos  的圖形趨勢作圖

破題...小弟可沒這麼厲害...可以直解破解它

來說說當時的想法好了：奇數是乘 12，因此第一個想法是奇數愈多愈好

再仔細一想，就知道當然不可能全部奇數，假設全都奇數，那最大奇數很大，就可以把它拿掉，多換幾個小的偶數

接著想的是，那是奇數多少個是恰恰好呢？

剛才那個把大奇數換小的偶數的想法，這時便派上用場了，如果奇數太大，那就可以換成很多小的偶數

所以奇數和偶數必然要達到一個剛好的比例，使得奇數和偶數的互換比近似於 12:5

還有，同奇偶的數一定選愈小的愈好...這樣子才可能儘可能的多選幾個數字

所以就選出了 2, 4, 6, ....  的連續偶數，和 1,3, 5, 7, ... 的連續奇數

它們的最末項比約為 5:12，接著利用等差數列求和公式，其和小於 2012

估計出剛才選出的奇偶數的末項。但剛剛算出來的和是小於 2012，所以其實即使比約 5:12，

也有可能發生一個奇數可以換三個偶數的情況，再做做微調，看看是否附近存在更大的值。

以上大概是小弟的原始的想法，但這樣做，也許有些不嚴謹，也不保證找到的是最大值。

因此才有後來發展線性規劃的方法