妙招…

在下也玩了類似的方法

配方 \( (\beta-\alpha)^{2}=-3\alpha^{2}\Rightarrow|\alpha|=2 \)

硬分解 \( (\beta-\alpha+\sqrt{3}i\alpha)(\beta-\alpha-\sqrt{3}i\alpha)=0\Rightarrow|\beta|=2|\alpha|=4 \)

剩下來就是直角三角形面積。

選擇10.
若\(\displaystyle \omega=cos40^{\circ}+isin40^{\circ}\)其中\(i=\sqrt{-1}\)，則\(|\;\omega+2\omega^2+3\omega^3+\ldots+9\omega^3|\;^{-1}=\)
(A)\(\displaystyle \frac{1}{9}sin40^{\circ}\)　(B)\(\displaystyle \frac{2}{9}sin20^{\circ}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{9}cos40^{\circ}\)　(D)\(\displaystyle \frac{1}{18}cos20^{\circ}\)
[解答]
利用

\( \omega^{9}=1 \) 和 \( 1-\omega=1-\cos40^{\circ}-i\sin40^{\circ}=2\sin20^{\circ}(\sin20^{\circ}-i\cos20^{\circ}) \)

及 \(\displaystyle \omega+\omega^{2}\ldots+\omega^{9}=\frac{\omega^{10}-\omega}{\omega-1}=0 \)

化簡 10#  樓中式子，取絕對值。

Ahlfors 的 Copmlex Analysis 嗎！？

這是令人罪惡的回憶…

真是厲害的方法，不過沒事的話，應該沒有會記得這個習題的性質吧

小弟再來補一個方法…

綜合 7
\(\alpha,\beta\)為兩複數，滿足\(\beta^2-2\alpha \beta+4\alpha^2=0\)，且\(|\;\alpha-\beta|\;=2\sqrt{3}\)，若\(\alpha,\beta\)在複數平面上所代表的點為\(A,B\)，而\(O\)是複數平面的原點，則\(\Delta OAB\)的面積為　　　。
[解答]
注意到題目所給的條件，和所求，都是旋轉不變的條件。

所以不妨旋轉一下，使得 \( \alpha-\beta \in R^+ \)

這樣絕對值，就可以直接拿掉，然後解出 \( \alpha,\, \beta \)

然後看要用什麼方法算面積都可以