回覆 20# Hawlee 的帖子
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箱中有編號1號到7號的7顆大小相同的球，每次從箱中任取一球，再放回箱中，重複取球\(n\)次，並記錄這\(n\)次取球的數字總和為\(S_n\)，假設\(S_n\)除以3餘1的機率為\(P_n\)，試求出\(P_n\)(以\(n\)表示) 。
[解答]
8# 的作法，有兩部分，一部分是機率和多項式係數的對應。
(我想，你問的應該都不是這個)
另一部分是係數和的部分，這部分大家比較熟悉的是：對任意多項式 \( f(x) \)，
\( f(1) \) 是各項係數和、\( \frac{f(1)+f(-1)}{2} \) 是偶數次方項(含常數項)的係數和、\( \frac{f(1)-f(-1)}{2} \) 是奇數次方項係數和。
再來則是 \( f(i) \) 的實部、虛部，會是每隔兩項的係數正負(加減)交錯的和。
跟偶數項係數和、奇數項係數和再組合起來就會得隔四項的係數和。
把取實數、虛部的部分用共軛複數的加減表示，可以得到
\( \frac{f(1)+f(-1)+f(i)+f(-i)}{4} \) 為常數項、\( x^{4}, x^{8}, x^{12},\ldots \) 的係數和。
而從 \( x \) 或 \( x^2 \) 或 \( x^3 \) 開始的每 4 項的係數和也有類似的表示。
把上面的經驗，移到隔三項的情況，不難發現
令\(\displaystyle \omega=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)
則有 \(\displaystyle \frac{f(1)+f(\omega)+f(\omega^{2})}{3} \) 為常數項、\( x^3, x^6, x^9, \ldots \) 的係數和
再來只要取 \( g(x) = x^2f(x) \)，對 \( g(x) \) 這個多項式使用上面的公式，就會得到 #8 的列式。
