13 我也算 -2

根與係數有
a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=12−4=−3b2+c2=−3−a2

x=a2b2c2 時下式左式之值皆為 1，又為二次以下多項式，故

(x−b2)(x−c2)(a2−b2)(a2−c2)+(x−a2)(x−c2)(b2−a2)(b2−c2)+(x−a2)(x−b2)(c2−a2)(c2−b2)=1

因此 3+a2(a2−b2)(a2−c2)+3+b2(b2−a2)(b2−c2)+3+c2(c2−a2)(c2−b2)=0=1(a2−b2)(a2−c2)+1(b2−a2)(b2−c2)+1(c2−a2)(c2−b2)
(平方項及一次項係數)

再用 a3=a2−2a+3, (b, c 亦同) 化簡所求 =−2a(a2−b2)(a2−c2)+−2b(b2−a2)(b2−c2)+−2c(c2−a2)(c2−b2)=2ab2−ac2−ba2+bc2+ca2−cb2(a−b)(b−c)(c−a)(1−c)(1−b)(1−a)

其中 (a−b)(b−c)(c−a)=ab2−ac2−ba2+bc2+ca2−cb2，故所求 =2(1−c)(1−b)(1−a)

分母之值為原三次多項式以 x=1 代入，故得 2−1=−2

證明2. 注意到 xy=zxyz, yz=xxyz, zx=yxyz，又 xyz 皆正

因此 xyyzzx 的大小排序與 z1x1y1 相同，而與 zxy 的大小排序恰相反

(xy)2(yz)2(zx)2 及 zxy 由排序不等式 (逆序和 亂序和)

得 x2y2z+y2z2x+z2x2yx2y2x+y2z2y+z2x2z=x3y2+y3z2+z3x2

應該有很多種證法，算幾或柯西應該都是可以走的路，我只是單純想玩一下排序而已

再補一個算幾，

74x3y2+2y3z2+z3x2+7x3y2+4y3z2+2z3x2+72x3y2+y3z2+4z3x2x2y2z+y2z3x+z2x2y

其中 4x3y2=x3y2+x3y2+x3y2+x3y2，其它項亦同