題目 n=142n−142n−1 
解 令 xn=42n，利用 xnxn+1−1=211xn+1+211xn−1,  1xn−1=1x2n−1−1=−211xn−1+1+211xn−1−1，可得以下：

4142−1=21141+1+2114−1
4244−1=21142+1−4114+1+4114−1
4448−1=21144+1−41142+1−8114+1+8114−1
43416−1=21148+1−41144+1−81142+1−11614+1+11614−1
...
斜的加，從左上往右下加，把每一條斜線加總可得

mn=142n−142n−1=12m+1mn=12n42n−1+1+2m2m−13131 

題目：(23+27)100  除以 100 的餘數，這題應該加上高斯符號
解 (23+27)100=50+66950 。
令 xn=50+66950+(50−669)50 ，則 xn+2=100xn+1−16xnx50x0(−16)25−2101  (Mod  100)。
(25)=20x50−2  (Mod  25)x500  (Mod  4)，故 x5048  (Mod  100)。
注意 0(50−669)501 ，故 x50=50+66950+(50−669)50=50+66950+1 。
因此 (23+27)10047(Mod  100) 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-13 11:14 PM 編輯 ]

B4. 先把奇數項的負號改成正，再減去兩個奇數項
改正的部分和原偶數項裂項相消，
減去兩個奇數項的部分，也是裂項，但不相消變成 11−31+51−71+91+ 會變成 arctanx 的Maclaurin series 代入 x=1

\begin{aligned}\sum\frac{(-1)^{k}}{4k^{2}-1} & =\sum\frac{1}{4k^{2}-1}-2\sum\limits _{k\mbox{ odd}}\frac{1}{4k^{2}-1}\\ & =\frac{1}{2}\sum\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)-\sum\limits _{k\mbox{ odd}}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\\ & =\frac{1}{2}-\sum\limits _{k\mbox{ odd}}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}=\frac{1}{2}-\tan^{-1}1=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4} \end{aligned}

B6. 感覺抄錯題目了

按上面的題目，移項提出 a-c，再用正弦定理、三角不等式可得 a-c=0

變成等腰三角形 a=c，無法求得角 C

B5. 有類似題...

分解，配對，算幾

注意 a^2+ab+ac+bc = (a+b)(a+c)

及 3a+b+2c = (a+b) + 2(a+c)

由算幾不等式有 \frac{3a+b+2c}{2}=\frac{(a+b)+(2a+2c)}{2}\geq\sqrt{2(a+b)(a+c)}=\sqrt{12+2\sqrt{20}}=\sqrt{10}+\sqrt{2}

故 3a+b+2c \geq 2\sqrt{10} + 2\sqrt{2} (等號我懶得驗了...)

B6. 那就正弦定理，把三個正弦換成邊長，移項再同除以 ab 得

\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}\Rightarrow\angle C=60^{\circ}

*************眼殘，下面兩行可以當作沒看到*************
\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\sqrt{3}\cos\frac{A-B}{2}

當 \angle A=\angle B=60^{\circ} 時 \sin A + \sin B 達最大值 \sqrt{3}
*************眼殘，上面兩行可以當作沒看到*************

[ 本帖最後由 tsusy 於 2017-3-12 22:33 編輯 ]

眼殘了，不過做法沒差多少

\sin A \sin B = - \frac12 \left( \cos (A+B) - \cos (A-B) \right)
= \frac12 \cos (A-B) + \frac14 \leq \frac 34

當 \angle A = \angle B = 60^\circ 達最大值 \frac 34