填充7 另解. 將同一行的2格一起看，有
(上,下): (1,1),(1,2),(1.3),(2,2),(2,3),(3,3)，共6種情形
分別標記為 A (1,1)、B (1,2)、C(1,3)、D(2,2)、E(2,3)、F (3,3)

其中除了 C 、 D 不能共存外，其餘情外，皆需依字母序左到右排入(填入) 才能符合題目

故可分三類：有出現C、有出現D、CD皆沒有出現。以重複組合 (自動左到右排好順序) 計算列式如下

\( H^5_{7-1} + H^5_{7-1} + H^4_7 = 2 C^{10}_6 +C^{10}_7 = 2 \times 210 +120 = 540 \)

填充9. 第一行的觀察出，背後是單調性，以此推廣做類似勘根的操作，可以將範圍縮的更小

設函數 \( f(x) = [x[x[x[x]]]] \)，易知：當 \( x \geq 0 \) 時， \( f(x) \) 為遞增函數

而 \( f(3) = 81 \), \( f(4) =256 \), \( f(\frac{10}3) = \frac{10}3 \times 33 =110 \), \( f(\frac{11}3) \approx 146 \)
(先夾出 \( [x[x]] \) 的值

設原方程式有正實數解 \( a \)，則 \( \frac{10}3 < a < \frac{11}3 \)，

而 \( [a[a]] = 10 \), \( f(a) = a[10a] = 114 \)

令 \( k = [10a] \),  \( \frac{100}3 < 10a < \frac{110}3 \) \( \Rightarrow 33 \leq k \leq 36 \)
\( a=\frac{114}k \Rightarrow 10a=\frac{1140}{k}\)
\( \Rightarrow k =[10a] \le 10a = \frac{1140}{k} \) \( \Rightarrow k \le \sqrt{1140} \approx 33.8 \)
故 \( k \geq 33 \) (上三行其實可以換成勘根的寫法)
因此正根(唯一可能)僅需檢驗 \( a= \frac{1140}{33} \)

另一方面當 \( x \leq 0 \)， \( f(x) \) 也為遞減函數

而 \( f(-3) = 81 \), \( f(-4) =256 \), \( f(\frac{-14}4) = \frac{-14}4 \times (-49) = 171.5 \), \( f(\frac{-13}4) = \frac{-13}4 \times (-43) = 139.75 \)

設原方程式有負實數解 \( b \)，則 \( \frac{-13}4 < b < -3 \)
此時 \( f(b) = b[12b] \)，而 \( -39 < 12b < -36 \)，故 \( [12b] = -37\)  或 \( -38 \) 或 \( -39 \)
而 \( [12b] = \frac{114}{b} \) \( \Rightarrow -38 < [12b] < -\frac{456}{13} \approx -35.1 \)  \(-38 < [12b] < - 35 \)

綜合以上，共需檢查兩個情形 \( x= \frac{114}{33}, \frac{114}{-37} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2026-3-18 07:25 編輯 ]