一、填充題
1.
已知\(z\)、\(w\)皆為非零複數，且滿足\(|z-2w|=3\)，\(\displaystyle\frac{z}{w}\)的主幅角為\(\displaystyle\frac{\pi}{3}\)，則\(|z|+|w|\)的最大值為
。
2.
已知\(x\)、\(y\)皆為正實數，且滿足\(x^3+y^3+3xy=1\)，則\(x^2y\)的最大值為
。
3.
已知數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1,a_2=5\)，且\(\displaystyle \frac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}+2}=2\)，則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\dots+\sqrt{a_n}}{n^2}\)的值為
。
4.
已知\(\triangle ABC\)中，\(\angle A,\angle B,\angle C\)所對應的邊分別為\(a,b,c\)。若\(\displaystyle c=5,\frac{\cos A}{\cos B}=\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\)。點\(P\)為\(\triangle ABC\)內切圓上的動點，\(d\)為點\(P\)到頂點\(A,B,C\)距離的平方和，令\(d\)的最小值與最大值分別為\(d_{\min},d_{\max}\)，則\(d_{\min}+d_{\max}\)的值為
。
5.
已知\(z\)為複數，且\(\displaystyle \frac{z+1}{z-1}\)是純虛數，則\(|\;z^2-2z+3|\;\)的最小值為
。
設\(z\)為一複數，若\(\displaystyle \frac{z-1}{z+1}\)為純虛數，試求\(|\;z^2-z+2|\;\)的最小值。
(109嘉義高中代理，
https://math.pro/db/thread-3369-1-1.html)
6.
已知\(3^{2^{2026}}-1=2^n\cdot m\)，其中\(m\)為奇數，則正整數\(n\)為
。
7.
在一個\(2\times 7\)的格子內填入數字\(a_{i,j}\in \{1,2,3\}\)，使其滿足\(a_{i,j}\le a_{i+1,j}\)且\(a_{i,j}\le a_{i,j+1}\)，則相異的填法數共有
種。
| \(a_{1,1}\) | \(a_{1,2}\) | \(a_{1,3}\) | \(a_{1,4}\) | \(a_{1,5}\) | \(a_{1,6}\) | \(a_{1,7}\) |
| \(a_{2,1}\) | \(a_{2,2}\) | \(a_{2,3}\) | \(a_{2,4}\) | \(a_{2,5}\) | \(a_{2,6}\) | \(a_{2,7}\) |
8.
已知\(a\in\mathbb{R}\)，且對所有\(k\in[-1,1]\)，當\(x\in(0,4]\)時，\(5\ln x+x^2-8x+a\le kx\)恆成立，則\(a\)的最大值為
。\((1.386<\ln4<1.387)\)
9.
設\([x]\)表示「小於或等於實數\(x\)的最大整數」，則滿足\(x\cdot[x\cdot[x\cdot[x]]]=114\)的所有實數\(x\)為
。
10.
設\(x\ge1\)，若函數\(f(x)=x^2-2x-2-16\sqrt{x-1}+x\sqrt{x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76}\)於\(x=x_0\)時有最小值\(m\)，則實數對\((x_0,m)\)為
。
11.
箱子中有13顆球，編號分別為\(1,2,3,\dots,13\)。現從中隨機取出三顆相異的球，並觀察其編號，假設箱子中的每顆球被取到的機會均等。已知這三顆球編號的乘積為\(a\)，這三顆球編號的總和為\(b\)，則\(a\)或\(b\)為完全平方數的機率為
。
12.
給定一個正三稜柱\(ABC-A_1B_1C_1\)，其中\(\triangle ABC\)和\(\triangle A_1B_1C_1\)皆為正三角形，側面皆為正方形，且所有稜長皆為1，則兩直線\(\overline{AB_1}\)與\(\overline{C_1B}\)的距離為
。
二、計算題
1.
設\(x\)為實數，若函數\(f(x)=|x-1|+a\cdot|x-b|+3\cdot|x-115|\)，其中\(a,b\)皆為整數且\(1<b<115\)。已知\(f(x)\)的最小值為12，請回答下列各小題：
(1)試證：\(a<0\)。
(2)試求所有滿足題目條件的數對\((a,b)\)。
2.
已知\(p>3\)，且\(p\)為質數。若\(\displaystyle\sum_{n=3}^{p-1}\frac{n^3}{(n-1)(n-2)}=\frac{b}{a}\)，其中\(a\)、\(b\)互質，試證：\(p\)為\(b\)的因數。
